Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
Wzadaniu2.3pokazaliśmy,że(cos∆x–1)/∆x→0,gdy∆x→0,zatem
dcosx
dx
=–sinxlim
∆x→0
sin∆x
∆x
.
Wpodrozdziale2stwierdziliśmyjednak,żetaostatniagranicarównajest1,mamywięc
dcosx
dx
=–sinx.
Wkursieanalizymatematycznejnajczęściejużywamywzorów(4.1)czy(4.2)dozróż-
niczkowaniapewnejlistyfunkcji.Znajomośćichpochodnychorazpewneogólnezasady,
jaknp.(uv),=u,v+uv,,czy(u/v),=(u,v–uv,)/v2,pozwalająnamzróżniczkować
niemalcokolwiek.Tablicematematycznezawierająkilkastronwzorównapochodne;
większośćprogramówCASpotrafiróżniczkowaćsymbolicznie.
PRZYKŁAD1
Zróżniczkujmyy=f(x)=x2e–xcosx.
Rozwiązanie:Skorzystamyzewzoru(uvw),=u,vw+uv,w+uvw,:
y,(x)=2xe–xcosx–x2e–xcosx–x2e–xsinx
=xe–x[2cosx–x(cosx+sinx)].
Wygodniejestmyślećoróżniczkowaniujakoopewnejoperacjinafunkcjif(x).
Operatoremnazywamysymbol,którykażenamzrobićcośzargumentem—funkcją
następującąpooperatorze.Naprzykładmożemytraktowaćdf/dxjakowynikdziałania
operatorad/dxnafunkcjęf(x).Jeżelioznaczymyoperatorróżniczkowaniaprzezˆ
D=
d/dx,możemynapisać
Df(x)=
ˆ
df
dx
.
Wewstępnymkursierachunkuróżniczkowegodowiedzieliściesię,żegdyc1ic2sąstałe,
to
D[c1f1(x)+c2f2(x)]=c1ˆ
ˆ
Df1(x)+c2ˆ
Df2(x).
(4.3)
Operatorymającepowyższąwłasnośćnazywasięoperatoramiliniowymi.Operatorróż-
niczkowaniajestoperatoremliniowym.
Takjakdefiniujemylewo-iprawostronnegranice,możemyzdefiniowaćlewo-ipra-
wostronnepochodne:
f,(a+)=lim
h→0+
f(a+h)–f(a)
h
,
f,(b–)=lim
h→0–
f(b+h)–f(b)
h
.
Funkcjamapochodnąwpunkciex=c,gdyjejlewo-iprawostronnepochodnesą
wx=crówne.Funkcja,któramapochodnąwewszystkichpunktachpewnegoodcinka,
