Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
Zanimprzejdziemydonastępnegopodrozdziału,rozważymyjeszczejednopojęcie.
Wróćmydoprzykładu2izauważmy,żewartośćδzależałatamzarównoodwartościs,
jakiodr.Niechfunkcjaf(x)będzieciągłanapewnymodcinku.Jeżeliistniejetakieδ,
że|f(x)–f(a)|<s,oiletylko|x–a|<δ,icowięcej,wartośćδniezależyoda,
tomówimy,żef(x)jestjednostajnieciągłanatymodcinku.Przykład2pokazuje,że
f(x)=1/xniejestjednostajnieciągłanaodcinku(0,1).Niejestonarównieżciągłana
domkniętymodcinku[0,1]8.Oczywiściejeżelifunkcjajestjednostajnieciągła,tojest
ciągła.
ZADANIADOPODROZDZIAŁU1.3
1.Udowodnij,używającnotacjis–δ,żef(x)=x2jestciągławx=2.
2.Czyf(x)=(x4+x3–3x2+2x–1)/(x–1)jestciągławx=1?
3.Wykaż,żerównanie2x5+2x+1=0maconajmniejjednorozwiązaniepomiędzy1a–1.
4.Wykaż,żerównaniecosx=xmarozwiązaniemiędzy0aπ/2.
5.Narysujwykresfunkcjif(x)=|x–1|/(x–1).Znajdź:
(a)limx→1–f(x),
(b)limx→1+f(x),
(c)limx→1f(x).
6.Wjakichpunktachfunkcjaf(x)=xcosecxjestnieciągła?
7.Wykaż,żef(x)=x2jestjednostajnieciągłanaodcinku(0,1).
8.Udowodnij,żefunkcjesinxicosxsąciągłedlawszystkichwartościx.Wskazówka:Zastosuj
wzórsinα–sinβ=2cos((α+β)/2)sin((α–β)/2).
9.Zbadajróżnicewzachowaniufunkcjif(x)=1/(2–x)ig(x)=1/(2–x)2wichpunktach
nieciągłości.
10.Funkcjaf(x)=(x3–1)/(x2–1)niejestokreślonawx=1.Czypunktx=1jest
nieciągłościąusuwalną?Jakąwartośćnależyprzypisaćfunkcjif(x)wx=1,bybyławtym
punkcieciągła?
11.Wykaż,żerównaniex3x=2maconajmniejjednorozwiązaniewprzedziale0<x<1.
12.Znajdźtakieαiβ,byfunkcja
f(x)=
[
'
'
ł
'
'
l
–sinx,
αsinx+β,
x–3
2
π
2
,
byłaciągła.
0<x<π/2,
π/2<x<3π/2,
3π/2<x<2π
13.Udowodnij,żejeżelig(x)jestciągławx=a,af(x)jestciągławg(a),tof(g(x))jest
ciągławx=a.
8Skądinądzjednostajnejciągłościnaodcinkuotwartymniewynikaciągłośćfunkcjinaodcinkudo-
mkniętym(przyp.tłum.).
