Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.CIĄGŁOŚĆ
19
Jeżelifunkcjaf(x)jestciągłanaodcinkudomkniętym[a,b],toprzyjmujeona
wszystkiewartościpośredniepomiędzyf(a)if(b).Jeżeliwięcnspełniawarunek
f(a)≤n≤f(b)7,towprzedziale[a,b]istniejetakipunktc,żef(c)=n.
Ztwierdzeniategowynika,żejeżelif(a)if(b)mająprzeciwneznaki,tof(x)przyjmie
wartość0wconajmniejjednympunkcieodcinka[a,b].
Zauważmy,żebezzałożeniaociągłościf(x)twierdzenieowartościachpośrednich
niezachodzi—funkcjaschodkowaHeaviside’anieprzyjmujewartościpośrednichpo-
międzyy=0ay=1(rys.1.22).
PRZYKŁAD3
Udowodnijmy,żef(x)=x2+x–1maconajmniejjednomiejscezerowe(punktx,dlaktórego
f(x)=0)wprzedziale[0,1].
Rozwiązanie:Funkcjaf(x)jestciągłanaodcinku[0,1],f(1)=1,f(0)=–1.Takwięcwykres
f(x)musiconajmniejrazprzeciąćośxwprzedziale[0,1](rys.1.30).
FunkcjaschodkowaHeaviside’ajestprzykłademfunkcji,któraniejestwprawdzie
ciągłanacałejprostej(–∞,∞),alejestciągłanadwóchpółprostych(–∞,0)i(0,∞).
Załóżmy,żefunkcjaf(x)niejestciągłanacałymodcinku[a,b],aleodcinektenmoże-
mypodzielićnaskończeniewieleodcinkówtakich,żef(x)jestciągławewnątrzkażde-
goznichiprzyjmujeskończonewartościnaichkońcach.Mówimywówczas,żef(x)
jestkawałkamiciągłana[a,b].FunkcjaHeaviside’ajestkawałkamiciągłanacałejosix.
Innymprzykłademfunkcjikawałkamiciągłejjest
f(x)=
[
'
ł
'
l
0,
–V0,
0,
x<–a,
–1<x<a,
x>a.
Jesttofunkcjapotencjałuwkwantowymopisiecząstkiwskończonejstudnipotencjału
(rys.1.31).
Rys.1.30.Wykresfunkcjif(x)=x2+x–1
naodcinku[0,1]
7Lubteżf(b)≤n≤f(a)(przyp.tłum.).
Rys.1.31.Wykresfunkcjif(x)=0dlax<–a,
f(x)=–V0dla–a<x<aorazf(x)=0dlax>a
