Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
siękłopotyzciągłością,toobszarbliskix=0.Bygozbadać,weźmydowolniemałer>0.
Musimyteraz,dlaustalonegos,dobraćtakieδ=δ(s,r),by
l
l
l
l
r
1
–
r+δ
1
l
l
l
l
<s.
Możemyrozwiązaćtęnierównośćwzględemδ—otrzymamyδ<sr2/(1–sr)≈sr2,więc
f(x)jestciągłanaotwarto-domkniętymprzedziale(0,1].Zauważcie,żewtymprzypadkuδ
zależyzarównoods,jakiodr.
Częstoużywamyróżnychintuicyjnychwłasnościfunkcjiciągłych.Jednaznichto
twierdzenieowartościachekstremalnych:
Funkcjaciągłaf(x)naodcinkudomkniętym[a,b]przyjmujewpunktachtegood-
cinkazarównowartośćnajwiększą,jakinajmniejszą.
Zauważcie,żeabytwierdzeniebyłospełnione,przedziałmusibyćdomknięty.Dlaprzy-
kładurozważmyfunkcjęf(x)=x3–3x2+4,zdefiniowanąnadomknięto-otwartym
przedziale[1,2)(rys.1.28).Funkcjataprzyjmujewartośćnajwiększąwx=1,alewar-
tościnajmniejszejnieprzyjmuje,gdyżx=2,które,jakwidaćnarysunku1.28,jest
jedynymkandydatemnapunkt,wktórymosiąganajestwartośćnajmniejszaf(x),nie
należydoprzedziału.Jakkolwiekbliskopodejdziemyzxdo2,funkcjaf(x)przyjmuje
mniejszewartościwpunktachjeszczebliższych2.
Rys.1.28.Wykresfunkcjif(x)=x3–3x2+4,
zdefiniowanejnadomknięto-otwartymodcinku[1,2)
Rys.1.29.Wykresfunkcjif(x)=1/(x–1)dla
1<x≤2,f(x)=0dlax=1
Warunek,żef(x)jestciągła,teżjestkonieczny—wystarczyrozważyćfunkcję
f(x)=
[
ł
l
0,
x–1
1
,
1<x≤2,
x=1
(rys.1.29).Funkcjataniejestciągłanaprzedziale(1,2],gdyżnieistnieje
limx→1+f(x).Przyjmujeonawartośćnajmniejsząwpunkciex=1,nieprzyjmujejed-
nakwartościnajwiększej.Jakkolwiekbliskopodejdziemydo1zprawejstrony,funkcja
przyjmujewiększewartościwpunktachjeszczebliższych1.
Innąużytecznąwłasnościąfunkcjiciągłychjesttwierdzenieowartościachpoś-
rednich6:
6ZwaneteżwłasnościąDarboux(przyp.tłum.).
