Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.6.TWIERDZENIAOWARTOŚCIŚREDNIEJ
ZADANIADOPODROZDZIAŁU1.6
39
1.Korzystajączrównania(6.4),wyznaczsin(π/4)zdokładnościądo4miejscpoprzecinku.
Wskazówka:Zauważ,że|sinx|≤1i|cosx|≤1.
2.Korzystajączrównania(6.4),wyznaczwartośćezdokładnościądo5miejscpoprzecinku.
Wskazówka:Skorzystajztego,żee≈3.
3.Udowodnij,żef(x)=x3+px+qmadokładniejedenpierwiastekrzeczywisty,gdy
p>0.
4.Zapomocąregułydel’Hospitalaoblicznastępującegranice:
(a)lim
(c)lim
x→0
x→0
ex–1–x
sin2x
x
x
,
,
(d)lim
x→π/2
1–sin2x
.
1–cosx
(b)lim
,
x→0
x
1+cos2x
5.Zapomocąregułydel’Hospitalaoblicznastępującegranice:
(a)lim
(c)lim
x→1
x→0
1–x
ex–1
lnx
x
,
,
(b)lim
(d)lim
x→0
x→∞
(√x2+2x–x).
1–cosx
,
x2
6.Zapomocąregułydel’Hospitalaoblicznastępującegranice:
(a)lim
x→0
(cosecx–ctgx),
(b)lim
x→0
1–cos2x
x2
,
(c)lim
x→0+
lnsinx
lntgx
,
ln(1+x)
(d)lim
.
x→0
x
7.Wykaż,żelim
x→∞
lnx
xα
=0dlakażdegoα>0.
8.Wykaż,żexαlnx→0przyx→0dlakażdegoα>0.
9.Znajdźlimx→∞x1/x.
10.Znajdźlim
x→∞
√1+x2
x
.
11.Podkoniecrozdziałuznaleźliśmygranicę(2x3–9x2+12x–5)/(2x3–18x2+30x–14)przy
x→1—otrzymaliśmywwyniku1/4.Cojestnietakznastępującymrachunkiem:
x→1
lim
2x3–18x2+30x–14
2x3–9x2+12x–5
=lim
x→1
6x2–18x+12
6x2–36x+30
=lim
x→1
12x–18
12x–36
=lim
x→1
12
12
=1?
12.Wykaż,żen
√n→1przyn→∞.
13.WtymzadaniuudowodnimytwierdzenieRolle’a.Użyjtwierdzeniaowartościachekstre-
malnychdlauzasadnienia,żef(x)przyjmujenaodcinku[a,b]wartościnajwiększąinaj-
mniejszą.Następniewykaż,żejeżelifunkcjaprzyjmujegdziekolwiekwprzedziale(a,b)
wartościdodatnie,tow(a,b)istniejeconajmniejjedenpunktĘtaki,żef(x)przyjmujewĘ
maksymalnąwartość—awięcf,(Ę)=0.Podobniewykaż,żejeżelif(x)przyjmujegdzieś
wartościujemne,tow(a,b)istniejeconajmniejjedenpunktn,wktórymf(x)przyjmu-
