Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.GRANICE
15
dawwyniku6.Programytepotrafiąnietylkoprzeprowadzaćobliczenianumerycz-
ne,umiejąrównieżprzekształcaćwyrażeniaalgebraiczne.Naokreślenieichbędziemy
używaćnazwyCAS(ComputerAlgebraSystems—SystemyAlgebryKomputerowej).
Wzadaniachod15do20należyobliczyćgraniceprzyużyciuktóregośzewspomnia-
nychprogramów.
ZADANIADOPODROZDZIAŁU1.2
1.Pokaż,żewaruneka–δ<x<a+δjestrównoważny|x–a|<δ.
2.Korzystajączrysunku1.24,udowodnij,żelim
x→0
sinx
x
=1.
Rys.1.24.Rysunekpomocniczydo
dowodu,żelimx→0(sinx)/x=1
3.Skorzystajzwynikuzadania2,bywykazać,że(1–cosx)/x→0przyx→0.Zauważ,że
granicategoilorazujestpostaci0/0.
4.Oblicznastępującegranice:
sin3x
sinx
sin2x
tg2x
(a)lim
x→0
x
,
(b)lim
x→0
x1/2
,
(c)lim
x→0
x2
,
(d)lim
x→0
3x
.
5.Oblicznastępującegranice:
(a)
sin2x
sinx
przyx→0,
(b)
1+cosπx
tg2πx
przyx→1,
(c)
x2–9
x+3
przyx→–3,
(d)
1–cosx
x2
przyx→0.
6.Znajdźgranicęwyrażenia[f(x+h)–f(x)]/hprzyh→0,gdy:
(a)f(x)=x2,
(b)f(x)=1/x,
(c)f(x)=sinx,
(d)f(x)=cosx.
7.Znajdźgranicenastępującychfunkcjiprzyx→∞:
(a)√x+a–√x+b,
(b)(√x+1–√x)x+1
2.
8.Znajdźgranicę
√x+2–√2
x
przyx→0.
9.Wyznaczgranicejednostronnewx=0dlafunkcjif(x)=x/|x|.
