Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.6.TWIERDZENIAOWARTOŚCIŚREDNIEJ
35
PrzejdźmyterazdotwierdzeniaLagrange’aowartościśredniej:
Jeżelifunkcjaf(x)jestciągłanadomkniętymprzedziale[a,b]iróżniczkowalnana
otwartymprzedziale(a,b),toistniejepunktĘw(a,b)taki,że
f(b)–f(a)
b–a
=f,(Ę),
a<Ę<b.
Zauważmy,żerównanie(6.1)możemyprzekształcićdopostaci
f(x)=f(a)+f,(Ę)(x–a),
a<Ę<x.
(6.1)
(6.2)
Wzadaniu14naszkicowanyjestdowódtegotwierdzenia.
Równanie(6.1)maładnąinterpretacjęfizyczną.Niechf(b)–f(a)opisujeodle-
głośćmiędzydwomapunktami,b–azaśczaspotrzebnynaprzejechaniezadob.
Wówczas[f(b)–f(a)]/(b–a)opisujeśredniąprędkośćwtejpodróży.Twierdzenie
owartościśredniej(równanie(6.1))mówi,żejeżelijechaliśmyześredniąprędkością,
powiedzmy100km/h,towpewnymmomenciepodczaspodróżynaszaprędkośćchwi-
lowawynosiładokładnie100km/h.
Natychmiastowymwnioskiemztwierdzeniaowartościśredniejjestto,żejeżeli
f(x)jestciągław[a,b]iróżniczkowalnaw(a,b)orazf,(x)>0dlawszystkichx
z(a,b),tof(x)jestw[a,b]funkcjąrosnącą.Bytoudowodnić,weźmyxzprzedziału
[x1,x2],x2>x1,ipodstawmydorównania(6.2)x1wmiejsceaix2wmiejscex.
Otrzymamy
f(x2)–f(x1)=f
,(Ę)(x
2–x1),
przyczymx1<Ę<x2.Alex2>x1orazf,(Ę)>0,więcf(x
2)>f(x1).Podobnie
jeżelif,(x)<0,tof(x)jestfunkcjąmalejącąw[a,b].
PRZYKŁAD1
Pokażemy,żef(x)=x3+3x–1madokładnie
jedno(rzeczywiste)miejscezerowewprzedziale
[–1,1].
Rozwiązanie:Funkcjaf(x)przyjmujewx=–1
wartość–5,awx=1wartość3,więcwprze-
dziale[–1,1]istniejeconajmniejjednomiejsce
zerowef(x).Pochodna
f,(x)=3x2+3>0dlawszystkichx,
zatemf(x)jestfunkcjąrosnącąnacałejosix,
możewięcmiećconajwyżejjednomiejscezero-
we(rys.1.44).
Rys.1.44.Wykresfunkcjif(x)=x3+3x–1
Istniejeuogólnienietwierdzeniaowartościśredniej,zktóregomożemyskorzystać
dowyprowadzeniawzorunaszeregTaylorazresztą.Twierdzenieowartościśredniej
wyższegorzędumówi,że
