Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.RÓŻNICZKI
33
Rozwiązanie:
∆y=y(x+∆x)–y(x)=(x+∆x)3+(x+∆x)–x3–x
=(3x2+1)∆x+3x(∆x)2+(∆x)3,
∆x
∆y
s=
=3x2+1+3x∆x+(∆x)2,
∆y
∆x
–
dy
dx
=3x∆x+(∆x)2.
Skoro∆y=dy+s∆xis→0przy∆x→0,torównanie(5.2)możemyzapisać
jako
dy≈y,(x)∆x+s∆x,
(5.9)
copokazuje,żeprzyjęcie
dy=y,(x)dx
(5.10)
dajedoskonałeprzybliżeniewtymsensie,żesdx—błądtegoprzybliżenia—dążydo0
szybciejniż∆x(czylidx).
Leibniz,współtwórca—wrazzNewtonem—rachunkuróżniczkowego,wprowa-
dziłzapiszapomocąróżniczekitraktowałwspółczynnikkierunkowystycznejjakoilo-
raznieskończeniemałychprzyrostówdyidx,jaktoprzedstawiononarysunku1.42.
Zwróćmyjednakuwagę,żedyidxniesągranicamiwielkości∆yi∆xprzy∆x→0,
gdyżtegranicemusząbyćrównezeru,podczasgdydyidx,wprowadzonepowyżej,
mogąniebyćrównezeru.Czasemmożeciezobaczyćsformułowania:∆y≈y,(x)∆x
przechodziwdy=y,(x)dx,gdy∆xstajesię„nieskończenie(infinitezymalnie)ma-
łe”,gdziecudzysłówpodkreśla,żesformułowanie„nieskończeniemałe”jestmętne.Na
wczesnychetapachrozwojurachunekróżniczkowypełenbyłprzykładówrozumowań,
wktórychpewnewielkościrazbyły„małe”,razzerowe,bypóźniejznówbyćtraktowa-
nejako„małe”.Tenieścisłościzostałyostatecznieusunięteprzezwprowadzeniepojęcia
granicy,jakiegodzisiajużywamy.
Wprowadzenieróżniczekpozwalanamzapisywaćpochodnewtakzwanejnotacji
różniczkowej:
d(uv)=udv+vdu,
d
v=
u
vdu–udv
v2
,
itakdalej.
PRZYKŁAD3
Obliczymy,korzystającznotacjiróżniczkowej,dy/dxdlafunkcjizadanejrównaniem
xy–2x2–1/y2=6.
Rozwiązanie:Mamy
czyli
xdy+ydx–4xdx+
2dy
y3
=0,
dy
dx
=
x+
4x–y
y3
2
=
4xy3–y4
xy3+2
.
