Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
Rys.1.42.Ilustracjaróżnicymiędzydya∆y
stycznejdowykresu.Taostatniawielkość,danawzorem
dy=y,(x)∆x,
(5.4)
toróżniczkay.
Rysunek1.42sugeruje,żeimmniejszajestwartość∆x,tymbliższesiebiesądy
i∆y.Bydowieść,żerzeczywiścietakjest,przyjmijmy∆x=x–x0izapiszmyrówna-
nie(5.1)jako
0=lim
x→x0
∆y–y,(x
x–x0
0)(x–x0)
=lim
x→x0
∆y–y,(x
x–x0
0)∆x
=lim
x→x0
∆y–dy
x–x0
.
(5.5)
Zrównania(5.5)wynika,żenietylkoróżnicamiędzy∆yady(przedstawionymina
rysunku1.42)dążydozera,ależedążyonadozeraszybciej,niż∆x=x–x0(awięc
naprzykładjak(∆x)2),gdyż∆xznajdujesięwmianowniku.Bytowyraźniejzobaczyć,
zdefiniujmy
s=
∆x
∆y
–y,(x
0).
(5.6)
Wstawiającsdorównania(5.5),widzimy,że
lim
∆y–y,(x
∆x
0)∆x
=lim
x→x0
s∆x
∆x
=lim
∆x→0
s=0,
x→x0
(5.7)
awięcżes→0,gdy∆x→0.Mnożącrównanie(5.6)przez∆xikorzystajączrówna-
nia(5.4),otrzymujemy
∆y=dy+s∆x.
(5.8)
Widzimywięc,że∆y→dyprzy∆x→0szybciej,niż∆xdążydo0.
PRZYKŁAD2
Znajdziemypostaćs=
∆y
∆x
–
dy
dx
dlafunkcjiy=x3+xisprawdzimy,żes→0,gdy∆x→0.
