Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
16.Wysokośćciaławystrzelonegopionowodogórydanajestjakofunkcjaczasuwzoremh(t)
=40t–32t2.Jakwysokociałotodoleci?
17.Udowodnij,żespośródprostokątówozadanymobwodzienajwiększepolemakwadrat.
18.Którypunktnakrzywejxy2=1leżynajbliżejpoczątkuukładuwspółrzędnych?
19.Dwiecząstkiporuszająsięnapłaszczyźnie,przyczymichpołożeniawchwilitdanesąwzo-
ramiparametrycznymi(3t,4t3–6t+1)oraz(3t+1,4t3–8t+2).Najakąnajmniejszą
odległośćsięzbliżą?
20.Znajdźmaksymalnymożliwyobwódtrójkątarównoramiennegowpisanegowokrągopro-
mieniur.
21.Promieniowanieciaładoskonaleczarnegodanejestwzorem
p(λ,T)=
8πhc
λ5
ehc/λkBT–1
1
,
gdzieλjestdługościąfalipromieniowania,p(λ,t)dλjestenergiąpromieniowaniaodługości
falipomiędzyλaλ+dλ,hjeststałąPlancka,kB—stałąBoltzmanna,c—prędkościąświa-
tła,Tzaś—temperaturąwkelwinach.PrawoWienamówi,żeλmaxT=const,gdzieλmax
jesttakąwartościąλ,dlaktórejp(λ,T)jestnawiększa.WyprowadźprawoWienazrówna-
nianapromieniowanieciaładoskonaleczarnego.Pokaż,żestałazprawaWienarównajest
(wprzybliżeniu)hc/4,965kB.
22.Udowodnij,żejeżelif(x)mapochodnąwx=a,tojestwtympunkcieciągła.
23.Łatwomożnapokazać(zadanie22),żezistnieniapochodnejf(x)wx=awynikaciągłość
f(x)wx=a.Odwrotniejednakbyćniemusi.Dlaprzykładupokaż,żefunkcja
y(x)=
[
ł
l
xsin
0,
1
x
,
x/=0,
x=0
jestciągławx=0,aleniemawtympunkciepochodnej.Wrzeczywistościmatematycy
skonstruowalifunkcje,któresąciągłewkażdympunkcieodcinka,awżadnympunkcienie
mająpochodnej.Szczęśliwietakiepatologicznefunkcjezwykleniepojawiająsięwzastoso-
waniachfizycznych.
24.Wyprowadźwzórnapochodnąiloczynudwufunkcji.
25.Udowodnijpoprawnośćwarunkównadrugąpochodnąwekstremumlokalnym.
WnastępnychczterechzadaniachskorzystajzktóregośzprogramówCAS,abysymboliczniezróż-
niczkowaćfunkcje.
26.Zróżniczkujf(x)=e–xx2sin3(3x2+2).
27.Obliczf,(1)dlafunkcjif(x)zpoprzedniegozadania.
28.Obliczdrugąpochodnąfunkcjif(x)zzadania26.
29.Obliczf,,(1)dlafunkcjif(x)zzadania26.
