Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
Rozwiązanie:Równanie
f,(x)=2x(1–x)2–2x2(1–x)=2x(1–x)(1–2x)=0
pokazuje,żef(x)mapunktykrytycznewx=0,
x=1/2orazx=1.Drugapochodnajestrówna
f,,(x)=12x2–12x+2.
Mającf,,(0)>0,f,,(1)>0orazf,,(1/2)<0,
wiemy,żepunktykrytycznex=0ix=1tomini-
malokalnef(x),ax=1/2jestmaksimumlokal-
nym.Punktyprzegięciaotrzymujemy,rozwiązując
równanief,,(x)=0,sątowięcx=(3±√3)/6
Rys.1.40.Wykresfunkcjif(x)=x2(1–x)2
(rys.1.40).
Zauważmy,patrzącnarysunek1.40,żewykresfunkcjif(x)=x2(1–x)2jestsy-
metrycznywzględempionowejprostejx=1/2.Bysprawdzićtoanalitycznie,podstaw-
mynowązmiennąĘ=x–1/2.Mamywówczasf(Ę)=(1
2+Ę)2(1
2–Ę)2,atafunkcja
jestparzystąfunkcjąĘ.
ZADANIADOPODROZDZIAŁU1.4
1.Zróżniczkuj:
(a)(2+x)e–x
2
,
(b)
sinx
x
,
(c)x2tg2x.
2.Zróżniczkuj:
(a)(x–1)–3/2,
(b)√x2–3x+1,
(c)ax.
3.Zróżniczkuj:
(a)arctg(e–x),
(b)ln(secx+tgx),
(c)xsinx.
4.Prostastycznadopewnejkrzywejopisanejrównaniemy=f(x)wpunkcie(a,b)mawspół-
czynnikkierunkowyrównym=(dy/dx)x=a=f,(a).Wykaż,żewspółczynnikkierunkowy
prostejprostopadłejdotejkrzywejwpunkcie(a,b)jestrówny–1/m.
5.Czyfunkcjaf(x)=|x|mapochodnąwx=0?
6.Pokaż,żef(x)=x3jestróżniczkowalnawprzedzialedomkniętym[0,1].
7.Zbiórpunktówspełniającychrównanie2x2–2xy+y2=4jestelipsą,którejdłuższaoś
jestnachylonawzględemosix.Wykreślfunkcjęy(x)11.Udowodnij,żewspółczynnikikie-
runkoweprostychstycznychdotejelipsywpunktach,wktórychprzecinaonaośx,sątakie
same.Innymisłowy,wykaż,żeprostestycznedoelipsywpunktach(±√2,0)sąrównoległe.
Wykonajtensamrachunekdlaprostychstycznychw(0,±2)—punktach,wktórychelipsa
przecinaośy.
8.Znajdźekstremalokalneipunktyprzegięciafunkcjif(x)=3x4–4x3–24x2+48x–20
nacałejosix.
11Niejesttofunkcjajednowartościowa(przyp.tłum.).
