Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.FUNKCJE
Rys.1.9.Funkcjax=sinyjestokresowąfunkcją
zmiennejy,ookresie2π
Rys.1.10.Funkcjaarcsinxjestwielowartościową
funkcjązmiennejx.Zauważ,żewykresarcsinx
możnauzyskaćzwykresusinx(iodwrotnie)przez
zamianęosixiy.Gałąźgłównąoznaczonolinią
ciągłą
5
Zauważmy,żewzajemneprzyporządkowaniexdoynarysunku1.7jestwzajemnie
jednoznaczne,tzn.jednawartośćyodpowiadadokładniejednejwartościxinaodwrót,
jednawartośćxodpowiadadokładniejednejwartościy.Takieprzyporządkowanieozna-
czamy
y=f(x)
oraz
x=f–1(y),
gdzief–1jestfunkcjąodwrotnądofunkcjif.Naprzykładjeśliy=2x–3,tox=
f–1(y)=(3+y)/2(rysunek1.8przedstawiarelacjęmiedzyy=f(x)orazx=
f–1(y)).Funkcjay=f(x)=x2niemajednoznacznejfunkcjiodwrotnej,ponieważ
x=±√y.Funkcjaodwrotnawtymprzypadkujestdwuwartościowa,ajejdwiegałęzie
to√yoraz–√y.Możemywybraćjednąztychgałęzi,pamiętającozałożeniu,żex≥0
albox≤0.Zadanie2poleganawykazaniu,żewykresyy=x2orazy(x)=√xsą
symetrycznewzględemprostejy=x.
Ważnąklasąfunkcjiodwrotnychsafunkcjeodwrotnedofunkcjitrygonometrycz-
nych3.Rozważmyx=siny.Wartośćkątaywyrażamywradianachiobliczamyjed-
noznacznąwartośćx.Jednak,jakpokazujerysunek1.9,sinyjestokresowywzględem
yzokresem2π;inaczejmówiąc,wartośćsinypowtarzasięco2πjednostkinaosiy,
comożemyteżzapisaćrównaniemsiny=sin(y+2πn),gdzien=0,±1,±2,...
Wkonsekwencjifunkcjaodwrotna,którąoznaczamyy=arcsinx,niemożebyćjed-
noznaczna,tzn.wielewartościy(taknaprawdęnieskończeniewielewartościy)odpo-
wiadajednejwartościx,copokazanonarysunku1.10.Naprzykładjeślix=√2/2,
toy=π/4,π/4+2π,π/4+4π,ogólnieπ/4+2πn,gdzien=0,±1,±2,...Za-
3Częstozwanefunkcjamicyklometrycznymi(przyp.tłum.).
