Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
§1.GRUPYKLASYCZNEMAŁYCHWYMIARÓW
9
Przypomnijmyteraz,żeSp(1)∼S3.Ponieważkażdypunktq∈S3można
połączyćzpunktem1ciągłąkrzywąr(t),więcΨr(t)jestkrzywąciągłąwO(3),
łączącąΨqzoperatoremtożsamościowymΨ1.WówczasdetΨr(t)jestciągłąfunk-
cjąparametrut,mogącąprzyjmowaćwartości±1,przyczymdetΨ1=1.Wynika
stąd,żedetΨr(t)=1dlakażdegot,czylidetΨq=1.ZatemΨ:Sp(1)→SO(3).
Musimyjeszczewykazać,żeΨjestsurjekcją.Wtymceluwykorzystamyznane
namjużmacierze(1).
Jeśliq=cos(B/2)1+sin(B/2)i,toΨq(i)=i,czyliośijestniezmiennicza.
Ponadto
Ψq(j)=(cos(B/2)1+sin(B/2)i)j(cos(B/2)1−sin(B/2)i)=(cosB)j+(sinB)kj
Ψq(k)=−(sinB)j+(cosB)kj
awięcΨqodpowiadamacierzyCo.Podobniejeśliq=cos(O/2)1+sin(O/2)k,to
ΨqodpowiadamacierzyBlobrotuwokółosik.
Udowodniliśmywtensposób
TWIERDZENIE1′.OdwzorowanieΨ(odpowiednioΨF11)jesthomomorfizmem
grupySp(1)(odpowiednioSU(2))nagrupęSO(3)zjądrem{±1}(odpowiednio
{±E}).
ĆWICZENIA
1.WykorzystującinterpretacjęgeometrycznągrupySU(2),wykazać,że
(0j1j0j0)∗(0j0j1j0)=(0j0j0j1)/=(0j0j1j0)∗(0j1j0j0)
(iloczynpunktównaS3∼Sp(1)).Tesamedwapunkty,rozpatrywanewRP3,
sąjużzesobąprzemienne.
2.Wykazać,żejeśliwyrazymacierzyunitarnych
K1(t)=
"
"
"
"
źsin(t/2)
cos(t/2)
źsin(t/2)
cos(t/2)
"
"
"
"
j
K2(t)=
"
"
"
"
cos(t/2)−sin(t/2)
sin(t/2)
cos(t/2)
"
"
"
"
j
K3(t)=
"
"
"
"
eit/2
0
e1it/2
0
"
"
"
"
zróżniczkujemywzględemtipodstawimyt=0,otrzymamymacierze
K1=
2
ź
"
"
"
"
01
10
"
"
"
"
=
2
ź
h1j
K3=
2
ź
"
"
"
"
1
0−1
0
"
"
"
"
=
2
ź
h3j
K2=
2
ź
"
"
"
"
−ź0
0
ź
"
"
"
"
=
2
ź
h2j
