Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
§1.GRUPYKLASYCZNEMAŁYCHWYMIARÓW
5
orazjeśliE="
"
1o
o1
"∈SU(2),tofl+
"
Ejestmacierząjednostkowąstopnia3.Oznacza
to,żeprzyporządkowaniefl:gl→flg(lubfl+:gl→fl+
g)jesthomomorfizmem
SU(2)wO(3).JądroKerfl=Kerfl+składasięztychmacierzyg∈SU(2),dla
którychfl+
g=fl+
E.Inaczejmówiąc,
Kerfl={g∈SU(2)|gH=Hgj∀H∈M
2}
+
={g∈SU(2)|ghj=hjgdlaj=1j2j3}j
gdzieh1jh2jh3jestbazą(8)przestrzeniM
2.Możnabezpośredniosprawdzić,że
+
(g=
"
"
"
"
−;
o
;
o
"
"
"
"
ighj=hjgdlaj=1j2j3)⇒g=±Ej
czyliKerfl={±E}.
Przyjrzyjmysięterazobrazommacierzyunitarnych(4)przyhomomorfizmiefl.
Przeprowadzamyobliczeniadlafl+wbazie(8):
blh1b
11
l
=(cosO)h1+(sinO)h2j
blh2b
11
l
=(−sinO)h1+(cosO)h2j
blh3b
11
l
=h3.
Oznaczato(przechodzimytuswobodnieodfl+dofliodmacierzydooperato-
rów),żeflb
ϕ=Bl(zob.(1))jestobrotemtrójwymiarowejprzestrzenieuklideso-
wejR3okątOdookołaosiOx3(lubh3).JeśliOiusądobranetak,żespełniona
jestrówność(5),toponieważfljesthomomorfizmem,mamy
flg=fluflb
ϕfl11
u
orazdetflg=detflu·1·(detflu)
11=1.
Oznaczato,żefljestwrzeczywistościhomomorfizmemSU(2)wSO(3).
Analogiczniesięsprawdza,żeflc
θ=CojestobrotemokątBdookołaosiOx1.
DladowolnejmacierzyA∈SO(3)mamywięc
A=BlCoBψ=flb
ϕflc
θflb
ψ=flb
ϕcθbψ=fla(l,o,ψ).
ZatemobrazImfljestcałągrupąSO(3).Udowodniliśmy
TWIERDZENIE1.GrupaSO(3)jestobrazemhomomorficznymgrupySU(2)
przyhomomorfizmiefl:gl→flgzjądremKerfl={±E}.KażdyobrótzSO(3)
odpowiadadokładniedwómoperatoromunitarnymgi−gzSU(2).
4.GeometryczneprzedstawieniegrupySO(3).Ztwierdzenia1wynika
bezpośrednio
WNIOSEK.GrupaSO(3)jesttopologicznierównoważna(homeomorficzna)ztrój-
wymiarowąrzeczywistąprzestrzeniąrzutowąRP3.
