Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
§1.GRUPYKLASYCZNEMAŁYCHWYMIARÓW
7
zrzeczywistymiwspółczynnikamio,
;,γ,δ,czyli
H=R1+Ri+Rj+Rk.
PodprzestrzeńR1jestpodalgebrąwH,izomorficznązR;ztabliczkimnożenia
wynika,żejesttocentrumalgebryH,czylizbiórtychelementów,któresąprze-
miennezewszystkimiinnymi;piszemyZ(H)=R.
Zauważmy,żeR1+RijestrównieżpodalgebrąwH,izomorficznązciałem(
liczbzespolonych.MożemyrównieżrozpatrywaćHjakodwuwymiarowąalgebrę
nad(,gdyż
o1+;i+γj+δk=(o+;i)1+(γ+δi)j.
Będziemypisaćnp.q!=cq,gdziec=a+bź∈(,mającnamyśli,żeq!=(a+bi)q.
Analogięz(możnaposunąćjeszczedalej.Zdefiniujmykwaternionsprzężony
doqwzorem
q∗=o−;i−γj−δk.
Jeśliqjest„czystymkwaternionem”,tzn.o=0,toq∗=−q.Liczbęnieujemną
N(q):=q·q∗=o2+;2+γ2+δ2
(11)
nazywamynormąkwaternionuq.Jeśliq/=0,tooczywiścieN(q)/=0,skąd
wynika,żekażdyniezerowykwaternionjestodwracalny:
q11=
N(q)
q∗
j
q·q11=1=q11·q.
(12)
ZbiórH∗:=H\{0}jestwięcgrupą;jesttogrupamultiplikatywnaalgebrykwa-
ternionów.
Łatwosprawdzić,że(dlap1jp2∈R)
(p1q1+p2q2)
∗=p1q∗
1+p2q
∗
2j
(q1q2)
∗=q∗
2q∗
1j
N(q1q2)=N(q1)N(q2).
Wszczególnościodwzorowanieql→q∗jestantyizomorfizmemalgebrykwater-
nionów(tzn.liniowąbijekcjąprzestawiającączynnikiiloczynów),aodwzorowanie
ql→N(q)jesthomomorfizmemgrupyH∗wR∗zjądrem
Sp(1):=KerN={q∈H|N(q)=1}.
(13)
GrupęSp(1)nazywamygrupąsymplektyczną;maonabezpośrednizwiązek
zliniowymigrupamisymplektycznymiSp(2nj–),omówionymipokrótcewczę-
ściII,aleniebędziemysięnadtymzatrzymywać.
Z(11)i(13)wynika,żegrupaSp(1)jesttopologicznierównoważnazesferą
wczterowymiarowejprzestrzeniH.PodobnąwłasnośćgrupySU(2)odnotowa-
liśmywpunkcie2.Nietrudnoznaleźćzwiązekmiędzytymidwomafaktami.
RozpatrzmyodwzorowanieF:H→M2(()przyporządkowującekwaternionowi
q=c+c!j,gdziec=o+;źorazc!=γ+δź,macierzzespoloną
F(q)=
"
"
"
"
−(γ−źδ)o−ź;
o+ź;
γ+źδ
"
"
"
"
=
"
"
"
"
−c!
c
c!
c
"
"
"
"
.
(14)
