Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
§2.WARSTWYWZGLĘDEMPODGRUPY
§2.WARSTWYWZGLĘDEMPODGRUPY
11
1.Własnościelementarne.NiechGiG!będądowolnymigrupamioele-
mentachneutralnycheie!.Wiemy,żejeślif:G→G!jesthomomorfizmem,
toH:=KerfjestpodgrupąwG.Zauważmy,żepodgrupatamanastępującą
własność:jeślih∈Hig∈G,to
f(ghg11)=f(g)f(h)f(g11)=f(g)e!f(g)11=e!j
czylighg11∈H,cozapisujemywpostacigHg11⊂H.Zamieniającgnag11,
otrzymamyg11Hg⊂H,astądH⊂gHg11.Ostatecznie
gHg11=Hj
∀g∈G.
DEFINICJA.KażdąpodgrupęH⊂Gspełniającąpowyższywaruneknazywamy
podgrupąnormalną(lubniezmienniczą,lubteżdzielnikiemnormalnym)wG.
PiszemywówczasH⊳G.
Takwięcjądrohomomorfizmugrupjestpodgrupąnormalną.Znaczenietego
faktuocenimynależycieniecopóźniej.Naraziezauważmy,żewaruneknormal-
nościpodgrupyHwGmożnazapisaćwpostaci
gH=Hgj
∀g∈Gj
gdzieoczywiściegH={gh|h∈H}iHg={hg|h∈H}.Przyjrzymysię
dokładniezbioromtejpostaci.
DEFINICJA.JeśliHjestpodgrupągrupyG,towarstwąlewostronnągrupyG
względempodgrupyH(krótko:warstwąGwzględemH)nazywamyzbiórgHele-
mentówpostacigh,gdziegjestustalonymelementemzG,ahprzebiegawszystkie
elementypodgrupyH.ElementgnazywamyreprezentantemwarstwygH.
AnalogiczniedefiniujesięwarstwyprawostronneHg.Niekiedywarstwylewo-
stronnewnaszymsensienazywasięprawostronnymiinaodwrót.Należytrzymać
sięjednej—którejkolwiek—ztychterminologii.JeśliHjestjądremhomomor-
fizmu:H=Kerf,togH=Hg,gdyżHjestpodgrupąnormalną.Zauważmy,że
jednązwarstwjestzawszesamapodgrupaH,mianowicieH=eH=He.Żadna
innawarstwaniejestpodgrupą:istotnie,jeśligHjestpodgrupą,toe∈gH,awięc
e=gh,czylig=h11igH=h11H=H.
TWIERDZENIE1.DwiewarstwylewostronnegrupyGwzględempodgrupyHsą
alboidentyczne,alborozłączne.RozkładgrupyGnawarstwylewostronnewzglę-
demHwyznaczawGrelacjęrównoważnościa∼b⇔a11b∈H.
Dowód.Załóżmy,żewarstwyg1Hig2Hmająwspólnyelementa=g1h1=g2h2.
Wówczasg2=g1h1h
11
2,awięckażdyelementg2hwarstwyg2Hjestpostaci
