Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
6
ROZDZIAŁ1.KONSTRUKCJETEORIOGRUPOWE
Dowód.Istotnie,wpunkcie2widzieliśmy,żeelementygrupySU(2)odpowiadają
wzajemniejednoznaczniepunktomsferyS3wczterowymiarowejprzestrzenirze-
czywistejR4.Operatorom±g∈SU(2)odpowiadająprzeciwległepunktynaS3,
któreprzyhomomorfizmieflsięsklejają(utożsamiają).Otrzymujemywtenspo-
sóbjedenzmodeliprzestrzenirzutowejRP3.
WczęściIIzdefiniowaliśmyprzestrzeńrzutowąRPnjakozbiórprostychwprze-
strzeniRn+1,przechodzącychprzezpoczątekukładuO.Każdatakaprostaprzecina
sferęjednostkowąSnośrodkuwOwdwóchprzeciwległychpunktach;każdyznich
wyznaczatęprostącałkowicie.Wynikastąd,żeRPnmożnazdefiniowaćjakoprze-
strzeńilorazowąsferySn⊂Rn+1względemrelacjirównoważnościutożsamiającej
każdąparępunktówprzeciwległych(antypodycznych)naSn.Niejestnaszym
zadaniemdefiniowanietopologiiwRPn.
Otrzymaliśmydośćnieoczekiwanyrezultat.NasferzeS3iprzestrzenirzutowej
RP3wprowadzonezostałystrukturygrupy:wpierwszymwypadku—SU(2),
wdrugim—SO(3).Każdapróbawprowadzeniastrukturygrupytopologicznej
naS2lubRP2jestskazanananiepowodzenie(alerezultattennienależydo
naszegotematu).
Ztwierdzenia1iwnioskuzniegowynika,żegrupaSO(3)jest„dwarazy
mniejsza”niżgrupaSU(2).IstnienieepimorfizmuSU(2)→SO(3)sugerujepy-
tanieoistnieniemonomorfizmuSO(3)→SU(2).Zobaczymywrozdziale3,że
odpowiedźnatopytaniejestprzecząca.
5.Kwaterniony.GrupaSU(2)zyskajeszczenaprzejrzystości,gdywcztero-
wymiarowejprzestrzeniliniowejR4wprowadzimystrukturęnieprzemiennejalge-
bryzdzieleniem(każdyniezerowyelementjestodwracalny).Mamytunamyśli
słynnąalgebrękwaternionów,skonstruowanąw1848r.przezWilliamaHamiltona
(1805–1865)inajegocześćoznaczanąliterąH.TradycyjniedefiniujemyHjako
czterowymiarowąprzestrzeńrzeczywistązbazązłożonązelementów1(jedynka),
i(jednostkaurojona),jik.PonieważwHmaobowiązywaćpraworozdzielno-
ści,więcabyokreślićmnożenie,wystarczyokreślićiloczynyelementówbazowych,
któredefiniujemyzapomocątabliczkimnożenia
1
i
j
k
1
1
i
j
k
i
i
−1
k
−j
j
j
−k
−1
i
k
k
j
−i
−1
Widaćodrazu,żeHjestalgebrąłączną,nieprzemienną,zjedynką1.Każdy
elementtejalgebryzapisujesięjednoznaczniewpostaci
q=o+;i+γj+δk:=o1+;i+γj+δk
(10)
