Wstęp do algebry, cz. 3

Aleksiej I. Kostrikin

Uzyskaj dostęp

Zakup książkę

ISBN/ISSN:

978-83-01-14400-5

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2009

Liczba stron:

284

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Bibliografia:

Kostrikin, Aleksiej I.. Wstęp do algebry, cz. 3. Red. . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, 284 s. ISBN 978-83-01-14400-5

Bibliografia refWorks:

RT Book, Whole

SR Electronic(1)

A1 Kostrikin, A.I.

T1 Wstęp do algebry, cz. 3

PB Wydawnictwo Naukowe PWN

PP Warszawa

YR 2009

SN 978-83-01-14400-5

Bibliografia BibTex:

@Book{ 1602, author = "Kostrikin, Aleksiej I.", editor = "", title = "Wstęp do algebry, cz. 3", publisher = "Wydawnictwo Naukowe PWN", year = "2009", address = "Warszawa", isbn = "978-83-01-14400-5" }

Bibliografia endNote:

TY - BOOK

AU - Kostrikin, Aleksiej I.

ED -

TI - Wstęp do algebry, cz. 3

PB - Wydawnictwo Naukowe PWN

CY - Warszawa

PY - 2009

SN - 978-83-01-14400-5

ER -

Netografia (standard APA):

Kostrikin, Aleksiej I.. Wstęp do algebry, cz. 3 [baza danych online] Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009 [dostęp: 04 07 2024]. Dostęp w Ibuk Libra: https://libra.ibuk.pl/reader/wstep-do-algebry-cz-3-aleksiej-i-kostrikin-1602.

matematyka, algebra, grupa abelowa, moduł

Podręcznik algebry napisany przez znakomitego matematyka. Trzecia część dotyczy m.in. grup, pierścieni i modułów. Przedstawiony materiał wspomagany jest wieloma przykładami. Główny nacisk położony jest na generowanie grup abelowych, teorię Sylowa,...

Więcej

ISBN/ISSN:

978-83-01-14400-5

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2009

Liczba stron:

284

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Przedmowa7
Literatura uzupełniająca7
ROZDZIAŁ 1. KONSTRUKCJE TEORIOGRUPOWE10
§1. Grupy klasyczne małych wymiarów10
1. Ogólne definicje10
2. Parametryzacja grup SU(2) i SO(3)11
3. Epimorfizm SU(2) > SO(3)12
4. Geometryczne przedstawienie grupy SO(3)14
5. Kwaterniony15
Ćwiczenia18
§2. Warstwy względem podgrupy20
1. Własności elementarne20
2. Struktura grup cyklicznych22
Ćwiczenia23
§3. Działanie grup na zbiorach24
1. Homomorfizmy G > S(?)24
2. Orbity i podgrupy stacjonarne punktów25
3. Przykłady działań grup26
4. Przestrzenie jednorodne30
Ćwiczenia31
§4. Grupy ilorazowe i homomorfizmy33
1. Grupa ilorazowa33
2. Twierdzenia o homomorfizmach grup34
3. Komutant38
4. Iloczyny grup40
5. Generatory i relacje42
Ćwiczenia47
ROZDZIAŁ 2. STRUKTURA GRUP50
§1. Grupy rozwiązalne i proste50
1. Grupy rozwiązalne50
2. Grupy proste52
§2. Twierdzenia Sylowa56
Ćwiczenia56
§3. Skończenie generowane grupy abelowe62
1. Przykłady i rezultaty wstępne62
Ćwiczenia62
2. Grupy abelowe beztorsyjne64
3. Skończenie generowane grupy abelowe wolne67
4. Struktura skończenie generowanych grup abelowych68
5. Inne podejścia do zagadnienia klasyfikacji69
6. Podstawowe twierdzenie o skończonych grupach abelowych73
Ćwiczenia76
§4. Liniowe grupy Liego77
1. Definicje i przykłady77
2. Krzywe w grupach macierzowych79
3. Różniczka homomorfizmu82
4. Algebra Liego grupy Liego83
5. Logarytm85
Ćwiczenia86
ROZDZIAŁ 3. ELEMENTY TEORII REPREZENTACJI GRUP87
§1. Definicje i przykłady reprezentacji liniowych90
1. Pojęcia podstawowe90
2. Przykłady reprezentacji liniowych95
§2. Unitarność i przywiedlność100
1. Reprezentacje unitarne100
Ćwiczenia100
2. Całkowita przywiedlność104
Ćwiczenia106
§3. Skończone grupy obrotów107
1. Rzędy skończonych podgrup w SO(3)108
2. Grupy obrotów wielościanów foremnych110
Ćwiczenia113
§4. Charaktery reprezentacji liniowych114
1. Lemat Schura i wnioski114
2. Charaktery reprezentacji116
§5. Reprezentacje nieprzywiedlne grup skończonych122
1. Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych122
Ćwiczenia122
2. Wymiary reprezentacji nieprzywiedlnych124
3. Reprezentacje grup abelowych126
4. Reprezentacje niektórych specjalnych grup128
Ćwiczenia131
§6. Reprezentacje grup SU(2) i SO(3)134
§7. Iloczyny tensorowe reprezentacji137
1. Reprezentacja kontragredientna137
Ćwiczenia137
2. Iloczyn tensorowy reprezentacji138
3. Pierścień charakterów139
4. Niezmienniki grup liniowych142
Ćwiczenia146
ROZDZIAŁ 4. PIERŚCIENIE, ALGEBRY, MODUŁY148
§1. Pewne konstrukcje w teorii pierścieni148
1. Ideały i pierścienie ilorazowe148
2. Ciało rozkładu wielomianu150
3. Twierdzenia o izomorfizmie dla pierścieni154
Ćwiczenia156
§2. Wybrane twierdzenia o pierścieniach157
1. Liczby całkowite Gaussa157
2. Rozkład na sumę dwóch kwadratów158
3. Rozszerzenia wielomianowe dziedzin z jednoznacznością rozkładu160
4. Struktura grupy multiplikatywnej U(Zn)162
Ćwiczenia165
§3. Moduły166
1. Wstępne informacje o modułach166
2. Moduły wolne171
3. Elementy całkowite pierścienia174
Ćwiczenia175
§4. Algebry nad ciałem176
1. Definicje i przykłady algebr176
2. Algebry z dzieleniem179
3. Algebry grupowe i moduły nad nimi183
Ćwiczenia192
§5. Moduły nieprzywiedlne nad algebrą Liego sl(2)194
1. Informacje wstępne194
2. Wagi i krotności196
3. Wektor najwyższej wagi196
4. Twierdzenie klasyfikujące198
Ćwiczenia199
ROZDZIAŁ 5. WSTĘP DO TEORII GALOIS200
§1. Skończone rozszerzenia ciał200
1. Elementy algebraiczne i stopnie rozszerzeń200
2. Izomorfizm ciał rozkładu205
3. Istnienie elementu pierwotnego207
§2. Ciała skończone209
1. Istnienie i jednoznaczność209
Ćwiczenia209
2. Podciała i automorfizmy ciał skończonych211
3. Wzór Möbiusa na odwrócenie i jego zastosowania213
Ćwiczenia217
§3. Odpowiedniość Galois219
1. Rezultaty wstępne219
2. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois222
3. Ilustracja zasadniczego twierdzenia223
§4. Znajdowanie grupy Galois228
1. Działanie grupy Gal(f) na pierwiastkach wielomianu f228
Ćwiczenia228
2. Wielomiany, których stopień jest liczbą pierwszą230
3. Redukcja modulo p233
4. Bazy normalne238
Ćwiczenia241
§5. Zagadnienia związane z rozszerzeniami Galois242
1. Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych242
2. Rozszerzenia abelowe243
3. Norma i ślad244
4. Rozszerzenia cykliczne247
5. Kryterium rozwiązalności równań przez pierwiastniki249
Ćwiczenia252
§6. Sztywność i wymierność w grupach skończonych253
1. Definicje i sformułowanie podstawowego twierdzenia253
2. Liczenie rozwiązań255
3. Przykłady sztywności258
Ćwiczenia259
§7. Epilog260
DODATEK. PROBLEMY NIEROZWIĄZANE262
1. Klasyfikacja skończonych grup prostych262
2. Automorfizmy regularne263
3. Dziwna algebra Liego263
4. Problem Burnside´a263
5. Skończone grupy automorfizmów wielomianowych264
6. SR-grupy264
7. Odwrotne zagadnienie Galois265
Odpowiedzi i wskazówki do ćwiczeń267
Pytania egzaminacyjne276
Uwagi metodyczne276
Program wykładu algebry278
Skorowidz279

A.I.Kostrikin,Wst

pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009

ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005

§3.DZIAŁANIEGRUPNAZBIORACH

Analogicznie

gdyż

Wobectego

gSt(xo)g

11⊂St(x!

o)j

St(xo)g

11x!

o=St(xo)xo={xo}={g

11x!

o}.

St(x!

o)=gSt(xo)g

11={ghg11|h∈St(xo)}.

Wduchurozpatrywanegoponiżejprzykładu1mówimy,żedwiepodgrupy

HjH!⊂Gsąsprzężone,jeśliH!=gHg11dlapewnegog∈G.Sformułujemy

otrzymanerezultatywpostacitwierdzenia.

TWIERDZENIE1.JeśligrupaGdziałanazbiorzeΩipunktyxojx!

o∈Ωleżą

natejsamejorbicie,toichpodgrupystacjonarnesąsprzężone:

o=gxo⇒St(x

o)=gSt(xo)g

11.

JeśliponadtozbiórΩigrupaGsąskończoneoraz

Ω=Ω1∪...∪Ωr

jestrozkłademzbioruΩnaorbityoreprezentantachx1j...jxr,to

|Ω|=

i=1

(G:St(xi)).

(2)

Wzór(2)leżyupodstawwieluzastosowań„metodyorbit”dlagrupskończo-

nych.

3.Przykładydziałańgrup.Zatrzymamysięjedynienaprzykładachzwią-

zanychzsamąteoriągrup.

Przykład1(działanieprzezsprzężenie).NaΩ=Gdeﬁniujemydzia-

łanieelementug∈Gwzorem

xl→Ig(x)=gxg

11j

x∈G.

Możnabypisaćg◦x=gxg11,alewoleliśmyzachowaćstareoznaczeniezczę-

ściI(rozdz.4,§2,p.4)dlaautomorﬁzmuwewnętrznegoIgodpowiadającego

elementowig∈G.

Działanietonazywamysprzężeniem(lubdziałaniemprzezautomorﬁzmy

wewnętrzne).JegojądremjestcentrumgrupyG:

Z(G)={z∈G|Ig(z)=zj∀g∈G}={z∈G|zg=gzj∀g∈G}.

Orbitęelementux∈G=ΩprzytymdziałaniuoznaczamysymbolemxGina-

zywamyklasąelementówsprzężonychzxlubklasąsprzężonościelementux.

Brak wyników

Wstęp do algebry, cz. 3

Treść książki

Znajdź bibliotekę blisko siebie, i uzyskaj dostęp do ebooka w systemie IBUK Libra