Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
§3.DZIAŁANIEGRUPNAZBIORACH
§3.DZIAŁANIEGRUPNAZBIORACH
15
1.HomomorfizmyG→S(Ω).Mówienieogrupachzaczęliśmywroz-
dziale4częściIodprzykładówgrupprzekształceń—podgrupgrupyS(Ω)
wszystkichodwzorowańwzajemniejednoznacznychΩ→Ωdlaróżnychzbio-
rówΩ.Takiepodejścieodpowiadazarównohistorycznejdrodzerozwojuteo-
riigrup,jakiznaczeniugrupprzekształceńwinnychdziedzinachmatematyki.
Takzwanaabstrakcyjnateoriagrup,będącadzieckiemepokipóźniejszej(pierw-
szapołowaXXwieku),odeszładalekoodgrupprzekształceń,alewielejejpo-
jęćnosinasobieśladyswegopochodzenia.Źródłemtychpojęćjestnajczęściej
ideareprezentacjidanejgrupyGwS(Ω),gdzieΩjestodpowiedniodobranym
zbiorem.
PrzezreprezentacjęgrupyGwS(Ω)wygodniejestrozumiećdowolnyhomo-
morfizmfl:G→S(Ω).JeśliflgjestprzekształceniemzS(Ω)odpowiadającym
elementowig∈G,tofle=eΩjestprzekształceniemtożsamościowymzbioruΩ
iflgh=flgflhdlagjh∈G.Obrazflg(x)punktu(elementu)x∈Ωwprzekształ-
ceniuflgoznaczasięczęstosymbolemgx,copozwalamówićoodwzorowaniu
(gjx)l→gxiloczynukartezjańskiegoG×ΩwΩ.Należałobywłaściwiepisać
g◦xlubg∗xdlaodróżnieniaodiloczynuwG,alewwiększościwypadkównie
jesttokonieczne.Wymienionewłasnościprzekształceńflgmożnaterazzapisać
następująco:
(i)ex=xdlakażdegox∈Ω;
(ii)g(hx)=(gh)xdladowolnychgjh∈G,x∈Ω.
Zakażdymrazem,gdydanejestodwzorowanie(gjx)l→gxiloczynukarte-
zjańskiegoG×ΩwΩowłasnościach(i)–(ii),mówimy,żegrupaGdziała(lewo-
stronnie)nazbiorzeΩ,którynazywamywówczasG-zbiorem.Zdrugiejstrony,
mającdanedziałanieGnaΩ,możemyzdefiniować
flg(x)=gxj
g∈Gjx∈Ω;
wtedynapodstawie(i)–(ii)odwzorowaniefl:gl→flgjesthomomorfizmemgrupy
GwS(Ω).Mówimyteż(zwłaszczagdy|Ω|<∞),żedziałanieGwΩwyznacza
reprezentację(fljΩ)grupyGwgrupiepermutacji.JądroKerflnazywamyjądrem
działaniagrupyG.Jeślifljestmonomorfizmem(tzn.(gx=x,∀x∈Ω)⇒g=e),
tomówimy,żedziałaniejestefektywnelubżereprezentacjajestwierna.
Uwaga.KażdedziałaniegrupyGnaΩindukujeoczywistedziałanieGnaΩk=
Ω×...×Ω,mianowicieg·(x1j...jxk)=(gx1j...jgxk).Mamypozatymin-
dukowanedziałanienazbiorzeP(Ω)wszystkichpodzbiorówzbioruΩ(częśćI,
rozdz.1,§5,ćwiczenie4):przyjmujemymianowicieg∅=∅,ajeśliTjestniepu-
stympodzbioremwΩ,togT={gt|t∈T}.Własności(i)–(ii)łatwosprawdzić
bezpośrednio.ZbioryTigTsąoczywiściejednakowejmocy,awięcGindukuje
równieżdziałanienazbiorzepodzbiorówΩustalonejmocy.
