Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
2
ROZDZIAŁ1.KONSTRUKCJETEORIOGRUPOWE
U(n)={A∈Mn(()|A
∗A=AA∗=E}j
SU(n)={A∈U(n)|detA=1}.
TutajmacierzA∗=tApowstajezA=(aij)przeztransponowanieisprzężenie
zespolonewspółczynnikówaij.GrupySL(n),SO(n)iSU(n)nosząnazwyspe-
cjalnych(specjalnagrupaliniowa,specjalnagrupaortogonalna,specjalnagrupa
unitarna).Wszczególności
O(1)={±1}j
SO(1)={1}j
U(1)={eil|0<O<2π}j
SU(1)={1}j
SO(2)={
"
"
"
"
cosO
sinO
−sinO
cosO
"
"
"
"
|
|
|
|
0<O<2π}∼
=U(1).
IzomorfizmgrupSO(2)iU(1)jestwyznaczonyprzeznaturalnąodpowiedniość
"
"
"
"
cosO
sinO
−sinO
cosO
"
"
"
"
l→eil.
Geometrycznieliczbyzespoloneeildla0<O<2πzapełniająokrągjednostkowy
S1napłaszczyźniezespolonej.Mówimy,żegrupaSO(2)iokrągS1sątopologicz-
nierównoważne(homeomorficzne).Dokładnysenstegopojęciajestwyjaśniony
wtopologii.
GodnyuwagiiznaczniemniejoczywistyjestzwiązekmiędzygrupamiSO(3)
iSU(2).ZajmiemysięnajpierwgeometrycznąrealizacjągrupySU(2),codopro-
wadzinastępniedogeometrycznegoprzedstawieniagrupySO(3).
2.ParametryzacjagrupSU(2)iSO(3).ZnanetwierdzenieEuleragłosi,
żekażdyelementgrupySO(3)izometriiwłaściwychtrójwymiarowejprzestrzeni
euklidesowejR3zachowującychpoczątekukładuOjestobrotemdookołapewnej
nieruchomejosiprzechodzącejprzezO(częśćII,rozdz.4,§3,p.3).Naprzykład
macierze
Bl=
"
"
"
"
"
"
cosO
sinO
0
−sinO
cosO
0
0
0
1
"
"
"
"
"
"
j
Co=
"
"
"
"
"
"
1
0
0
cosB
sinB
0
−sinB
cosB
0
"
"
"
"
"
"
(1)
odpowiadająobrotomdookołaosiOziOxokątyodpowiednioOiB.Można
wykazać,żekażdąmacierzA∈SO(3)możnazapisaćwpostaci
A=BlCoBψj
(2)
gdzieBl,Co,Bψsąodpowiedniodobranymimacierzamipostaci(1),przyczym
0<O,ψ<2πi0<B<π.KątyO,B,ψ,którychsensgeometrycznynarazienas
nieinteresuje,nosząnazwękątówEulera.
Niechteraz
g=
"
"
"
"
γ
o
;
δ
"
"
"
"
∈SU(2).
