Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
4
ROZDZIAŁ1.KONSTRUKCJETEORIOGRUPOWE
PrzestrzeńM+
2
macierzypostaci(7)składasięzwszystkichmacierzyhermitow-
skich(H∗
x=Hx)ośladziezero:trHx=x3+(−x3)=0,przyczymodpowiedniość
pomiędzywektoramix∈R3imacierzamiHx∈M+
2
jestoczywiściewzajemnie
jednoznaczna.Wszczególnościwektorombazowyme1je2je3∈R3odpowiadają
macierzebazowehk=He
k:
h1=
"
"
"
"
01
10
"
"
"
"
j
h2=
"
"
"
"
−ź0
0
ź
"
"
"
"
j
h3=
"
"
"
"
1
0
−1
0
"
"
"
"
;
Hx=x1h1+x2h2+x3h3j
M+
2=(h1jh2jh3>R.
(8)
Zauważmy,żekażdemuoperatorowiA+:Hxl→HynaM+
2
omacierzyA
wbazie(8)odpowiadadobrzeokreślonyoperatorA:xl→ynaR3otejsamej
macierzyAwbaziee1,e2,e3,gdyżHox=oHxiHx+x′=Hx+Hx′.Ponie-
ważinnebazywdalszymciąguniewystępują,będziemyniekiedyutożsamiali
operatoryliniowezodpowiadającymiimmacierzami.
NiechterazgbędziedowolnymelementemgrupySU(2).
Rozpatrzmyodwzorowanie
fl+
g:Hxl→gHxg
11.
(9)
Ponieważśladymacierzypodobnychsąrówne,więctr(gHxg11)=trHx=0.
Pozatymg∗=tg=g11,awięc
(gHxg
11)∗=(g11)∗H∗
xg∗=gHxg11j
czylifl+
g(Hx)∈M
2,tj.
+
fl+
g(Hx)=
"
"
"
"
g1−źg2
g3
g1+źg2
−g3
"
"
"
"
=Hyj
gdziey=(g1jg2jg3)∈R3.Zdefinicji(7)i(9)wynika,że
fl+
g(Hox+o′x′)=ofl
+
g(Hx)+o
!fl+
g(Hx′).
Takwięcodwzorowaniefl+
g(iodpowiadającemuodwzorowanieflg)jestopera-
toremliniowymwM+
2
(odpowiedniowR3).
Udowodnimy,żeoperatorflg:R3→R3jestortogonalny.Istotnie,
(flg(x)|flg(x))=(y|y)=g
1+g2
2
2+g2
3=−detHy=−detfl
+
g(Hx)
=−detgHxg
11=−detHx=x2
1+x2
2+x2
3=(x|x)j
zatemflgzachowujenormęwektora,awięciiloczynskalarny.Narazieniejest
jasne,czyflgzachowujerównieżorientacjęprzestrzeniR3,cozależyodznaku
detflg.Wiemyjedynie,żedetflg=±1.
Jakwynikazdefinicji,
fl+
g(fl+
g′(Hx))=g(g
!Hxg!11)g11=(gg!)Hx(gg!)11=fl+
gg′(Hx)j
