Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
16
ROZDZIAŁ1.KONSTRUKCJETEORIOGRUPOWE
2.Orbityipodgrupystacjonarnepunktów.Dwapunktyxjx!∈Ωnazy-
wamyrównoważnymiwzględemdziałaniagrupyGnaΩ,jeślix!=gxdlapewnego
g∈G.Zwrotność,symetriaiprzechodniośćtejrelacjiwynikająłatwozwłasności
(i)–(ii)wpunkcie1;mamywięcdoczynieniazrelacjąrównoważności,prowa-
dzącądorozkładuzbioruΩnaklasyrównoważności.Klasyteprzyjętonazywać
G-orbitami.NaturalnejestoznaczenieorbityzawierającejelementxoprzezG(xo)
(lubGxo);takwięcG(xo)={gxo|g∈G}.Stosowanebywająjednakrównież
iinneoznaczenia,podkreślająceszczególnecechydanegodziałania.Pojęcieorbity
wzięłosięzgeometrii.Jeślinp.G=SO(2)jestgrupąobrotówpłaszczyznydo-
okołapunktuO,toorbitąpunktuPjestokrągośrodkuOprzechodzącyprzezP;
zbiórΩ=R2jestsumąrozłącznąokręgówwspółśrodkowych,zokręgiemozero-
wympromieniu(tj.punktemO)włącznie.Pojęcieorbityniejestdlanasnowe.
PosługiwaliśmysięnimjużwczęściI(rozdz.1)przyrozkładaniupermutacji
π∈Snnailoczyncyklirozłącznych.GrupąGbyławówczasgrupacykliczna(π>.
NiechxobędziedowolnympunktemwΩ.Rozpatrzmyzbiór
St(xo)={g∈G|gxo=xo}⊂G.
Ponieważexo=xooraz(gjh∈St(xo)⇒gh11∈St(xo)),więcSt(xo)jest
podgrupąwG.Nazywamyjąpodgrupąstacjonarną(lubpodgrupąizotropii,lub
stabilizatorem)punktuxo∈ΩioznaczamyczęstorównieżprzezGx
0.Dlarozpa-
trzonegopowyżejdziałaniaSO(2)naR2mamySt(O)=SO(2)orazSt(P)={E},
jeśliP/=O.Ogólnie
gxo=g
!xo⇔xo=g11g!xo⇔g11g!∈St(xo)⇔g!∈gSt(xo).
Oznaczato,żewarstwylewostronnegSt(xo)grupyGwzględempodgrupysta-
cjonarnejSt(xo)odpowiadająwzajemniejednoznaczniepunktomorbityG(xo).
Wszczególności
CardG(xo)=Card(G/St(xo))=(G:St(xo)).
(1)
Przypominamy,żeG/St(xo)oznaczazbiórwarstwlewostronnychgrupyGwzglę-
demSt(xo),a(G:St(xo))—indekspodgrupySt(xo)wG.MocCardG(xo)
nazywasięczęstodługościąG-orbitypunktuxo.
Z(1)iztwierdzeniaLagrange’awynika,żejeśligrupaGjestskończona,to
długośćkażdejorbityjestdzielnikiemrzędugrupy.
Zwróćmyjeszczeuwagę,żepoprawejstronierówności(1)punktxomożna
zastąpićdowolnyminnympunktemx!
o∈G(xo).Istotnie,
CardG(xo)=CardG(x
!
o)=(G:St(x!
o)).
Udowodnimyterazniecosilniejszestwierdzenieopodgrupachstacjonarnych
punktówztejsamejorbity.Niechx!
o=gxo.Wówczas
St(x!
o)gxo=St(x
!
o)x!
o={x!
o}={gxo}j
astąd
g11St(x!
o)gxo={xo}j
tj.
g11St(x!
o)g⊂St(xo).
