Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
§1.GRUPYKLASYCZNEMAŁYCHWYMIARÓW
3
Mamy
g∗=tg=
"
"
"
"
o
;
γ
δ
"
"
"
"
j
g11=
"
"
"
"
−γ
δ
−;
o
"
"
"
"
.
Ponieważg∈U(2)⇔g∗=g11,więcδ=oiγ=−;.Takwięckażdamacierz
g∈SU(2)mapostać
g=
"
"
"
"
−;
o
o
;
"
"
"
"
j
|o|2+|;|2=1.
(3)
Naodwrót,jeśligjestmacierzą(3),tooczywiścieg∈SU(2).KażdyelementSU(2)
jestwięcwyznaczonyprzezparęliczbzespolonych(oj;)takich,że|o|2+|;|2=1.
Jeślio=o1+źo2,;=;1+ź;2,okj;k∈R,towarunek|o|2+|;|2=1przepisany
wpostaci
o2
1+o2
2+;2
1+;2
2=1
dajepodstawędostwierdzenia,żegrupaSU(2)jesttopologicznierównoważna
(homeomorficzna)zesferąS3wprzestrzeniR4.
Zwróćmyuwagęnamacierzeunitarne
bl=
"
"
"
"
eil/2
0
e1il/2
0
"
"
"
"
j
co=
"
"
"
"
źsin(B/2)
cos(B/2)
źsin(B/2)
cos(B/2)
"
"
"
"
.
(4)
WczęściIIudowodniliśmy(rozdz.3,§3,p.6;możnatorównieżsprawdzićbez-
pośrednio),żedlakażdejmacierzygpostaci(3)istniejemacierzu∈SU(2)speł-
niającarówność
g=ublu
11j
(5)
gdzieOznajdujemyzwarunkuo1=cos(O/2).
Zauważmyteż,żekażdamacierz(3)zo;/=0możebyćzapisanawpostaci
"
cos(B/2)ei(l+ψ)/2
źsin(B/2)ei(l1ψ)/2
"
a(OjBjψ):=blcobψ=
"
"
"
źsin(B/2)ei(ψ1l)/2
cos(B/2)e1i(l+ψ)/2
"
"
"
j
(6)
gdzie0<O<2π,0<B<π,−2π<ψ<2π(1).
WystarczydobraćB,Oiψtak,byspełnionebyływarunki|o|=cos(B/2),
|;|=sin(B/2),argo=1
2(O+ψ)iarg;=1
2(O−ψ+π).
3.EpimorfizmSU(2)→SO(3).Każdemuwektorowix=x1e1+x2e2+x3e3
trójwymiarowejprzestrzenieuklidesowejR3onormied(x|x)=dx2
1+x2
2+x2
3
przyporządkowujemymacierzzespolonąwymiarów2×2
Hx=
"
"
"
"
x1−źx2
x3
x1+źx2
−x3
"
"
"
"
.
(7)
(
1)Kątyϕ,θ,ψrównieżnazywamykątamiEulera.Jakdalejzobaczymy,macierzomuni-
tarnymgi−gwnaturalnysposóbodpowiadatensamobrótwR3,copowodujeograniczenie
zasięguparametruψ(wprzypadkuSO(3))doprzedziału[0,2π).
