Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
8
ROZDZIAŁ1.KONSTRUKCJETEORIOGRUPOWE
Zachodząoczywistezwiązki
F(p1q1+p2q2)=p1F(q1)+p2F(q2)j
p1jp2∈Rj
F(q1q2)=F(q1)F(q2)j
F(1)=Ej
którewyrażamykrótko,mówiąc,żeFjesthomomorfizmemrzeczywistejalgebry
Hwalgebręmacierzy,czylirzeczywistąreprezentacjąliniowąalgebrykwaternio-
nów.PonadtoFjestoczywiściemonomorfizmem.Przypomnijmywtymmiejscu,
żewczęściI(rozdz.5)pierwszymmodelemliczbzespolonychbyłymacierze
"
"
1ba
ab
Z(14)wynika,że
"
"∈M2(R).
F(Sp(1))={
"
"
"
"
−c!
c
c!
c
"
"
"
"
|
|
|
|
|c|2+|c!|2=1}=SU(2)j
tj.FwyznaczaizomorfizmgrupSp(1)iSU(2).
DoszukanegoepimorfizmuSp(1)→SO(3)dochodzimywnastępującysposób.
Każdemukwaternionowiqonormie1przyporządkowujemyodwzorowanieΨq:
H→Hokreślonewzorem
Ψq(p)=qpq
11.
(15)
Ponieważq11=q∗(zob.(12)),więc
Ψq(p
∗)=qp∗q11=(q11)∗p∗q∗=(Ψq(p))∗.
Jeślip∗=−pjestczystymkwaternionem,to(Ψq(p))∗=Ψq(p∗)=−Ψq(p),co
oznacza,żepodprzestrzeńH1czystychkwaternionówjestniezmienniczawzglę-
demΨq.Otrzymaliśmywtensposóboperatorliniowy
Ψq:H
1→H1.
Z(15)wynikanatychmiast,żeΨq
1q2=Ψq
1Ψq
2,czyliql→Ψqwyznaczahomo-
morfizm(ściślej,monomorfizm)grupySp(1)wgrupęGL(H1)∼
=GL(3jR),tj.
elementygrupySp(1)zyskały„reprezentacjęmacierzową”:
gM=
Σ
u=1
3
aMuxu.
Ψq(x1i+x2j+x3k)=g1i+g2j+g3kj
Zauważmy,żejeśliprzeniesiemystandardowyiloczynskalarnywR3zapomocą
izomorfizmue1l→i,e2l→j,e3l→jdoprzestrzeniH1,towotrzymanejprze-
strzenieuklidesowejliczbaN(q)jestkwadratemdługościkwaternionuq.Wynika
stąd,żekażdyoperatorΨq:H1→H1jestortogonalny,gdyż
N(Ψq(p))=N(q)N(p)N(q
11)=N(p).
OtrzymaliśmyzatemhomomorfizmΨ:Sp(1)→O(3).Zdefinicji(15)wynika,
żeΨq=5wtedy,gdykwaternionqjestprzemiennyzkażdymkwaternionem
zH1,cojestmożliwetylkowtedy,gdykwaternionqjestrzeczywisty,aponieważ
N(q)=1,więcKerΨ={±1}.
