Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawowestrukturyalgebraiczne,Warszawa2009
ISBN978-83-01-14400-5,©byWNPWN2005
10
ROZDZIAŁ1.KONSTRUKCJETEORIOGRUPOWE
tworzącebazęprzestrzeniM1
2
macierzyantyhermitowskich
K=
"
"
"
"
k2+źk1
źk3
−k2+źk1
−źk3
"
"
"
"
j
ozerowymśladzie:K∗=−K,trK=0.
kj∈Rj
3.Jedynkikwaternionowei,j,kgenerująinteresującąpodgrupęwSp(1),tzw.
grupękwaternionówQ8rzędu8,odgrywającądużąrolęwwieluzagadnie-
niach.JakizwiązekzQ8mająmacierze
±
"
"
"
"
10
01
"
"
"
"
j
±
"
"
"
"
0−ź
ź
0
"
"
"
"
j
±
"
"
"
"
−10
01
"
"
"
"
j
±
"
"
"
"
0
ź
0
ź
"
"
"
"
?
4.CzymożnaskonstruowaćłącznąalgebręzdzieleniemAnadR,wymiaru3,
zawierającą(jakopodalgebrę?
5.Euforiawywołanaodkryciemkwaternionówdoprowadziładopowstaniakręgu
zwolennikówfunkcjikwaternionowych,jakoodpowiednikafunkcjizmiennej
zespolonej.Choćnieosiągniętowtejdziedziniewielkichsukcesów,okazało
się,żekwaternionymająbezpośrednizwiązekzfizykąmatematyczną.Abysię
otymprzekonaćchoćwpewnymstopniu,rozważmyoperatorróżniczkowy
∇=i
∂x
∂
+j
∂g
∂
+k
∂z
∂
działającynafunkcjef:H1=Ri+Rj+Rk→H.Jeślifunkcjafjest
skalarna(rzeczywista),tzn.f:H1→R1=R,to
∇f=i
∂f
∂x
+j
∂f
∂g
+k
∂f
∂z
odpowiadagradientowif,natomiast
∇2f:=∇∇f=−∆f=−(
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂g2
+
∂2f
∂z2)
jest(ujemnym)laplasjanemfunkcjif.Jeślifjestpolemwektorowymf=
iu+jv+kw,to
∇(iu+jv+kw)
\
pole
\f
/
=−(
\
∂u
∂x
+
∂v
∂g
\f
+
∂w
∂z
/
)
dywergencjapola
+i(
\
∂w
∂g
−
∂z)+j(
∂v
∂u
∂z
−
\f
∂w
∂x)+k(
∂x
∂v
−
∂g).
∂u
/
rotacjapola
Należywyprowadzićpowyższewzory.
