Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
1.Całkinieoznaczone
Ponowniecałkującprzezczęści,przyjmijmy
f2(t)=cos(lnt)ig/
2(t)=1,
skąd
f
2(t)=
/
−sin(lnt)
t
ig2(t)=t
oraz
/cos(lnt)dt=tcos(lnt)+/sin(lnt)dt.
(1.53)
Podstawiajączależność(1.53)dowzoru(1.52),otrzymujemy
/sin(lnt)dt=tsin(lnt)−tcos(lnt)−/sin(lnt)dt,
skąd
/sin(lnt)dt=
tsin(lnt)−tcos(lnt)
2
+C.
Wstawiającterazotrzymanązależnośćdowzoru(1.51),dostajemy
/2xsin(ln(x2+1))dx=
tsin(lnt)−tcos(lnt)
2
+C
i,wracającdozmiennejx,ostateczniemamy
/2xsin(ln(x2+1))dx=
(x2+1)[sin(ln(x2+1))−cos(ln(x2+1))]
2
+C.I
Ćwiczenie1.47.Obliczyćcałkę
/
ln(sin4x+1)cosx
sin3x
dx.
Rozwiązanie.Przyjmijmysinx=t.Wtedycosxdx=dtibezpośrednioze
wzorunacałkowanieprzezpodstawieniemamy
/
ln(sin4x+1)cosx
sin3x
dx=/
ln(t4+1)
t3
dt.
(1.54)
Otrzymanącałkęobliczymy,stosującmetodęcałkowaniaprzezczęści.Niech
f(t)=ln(t4+1)ig/(t)=
t3
1
.
Wtedy
f
/(t)=
t4+1
4t3
ig(t)=−
2t2
1
oraz
/
ln(t4+1)
t3
dt=−
ln(t4+1)
2t2
+/
t4+1
2t
dt.
(1.55)
