Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
1.Całkinieoznaczone
Naprzykładwielomianx2+2x−3marozkładpostaci
x
2+2x−3=(x−1)(x+3),
wielomian−3x3−6x2−3x−6rozkładasięwsposóbnastępujący:
−3x3−6x2−3x−6=−3(x+2)(x2+1),
natomiastrozkładwielomianux6−9x4+x2−9jestpostaci
x
6−9x4+x2−9=(x+3)(x−3)(x2+√2x+1)(x2−√2x+1).
Funkcjąwymiernąnazywamyfunkcjępostaci
W(x)=
P(x)
Q(x)
,
gdziePiQsąwielomianami(odpowiedniostopninim).
Jeżeli:
i)n<m,toWnazywamyfunkcjąwymiernąwłaściwą;
ii)n>m,toWnazywamyfunkcjęwymiernąniewłaściwą;wtedydzielącwielo-
mianPprzezwielomianQ,otrzymujemyrozkład
P(x)
Q(x)
=S(x)+
R(x)
Q(x)
,
(1.60)
gdzieSjestwielomianemstopnian−m(nazywamygoilorazemwielomianów
PiQ),aRjestwielomianemstopniamniejszegoniżm(nazywamygoresztą
zdzieleniawielomianówPiQ).PonadtoR
Qjestfunkcjąwymiernąwłaściwą.
Ułamkamiprostyminazywamyfunkcjewymiernewłaściwepostaci
(x−l)n
A
,
(x2+bx+c)m
Bx+C
,
gdzien,msąliczbaminaturalnymi,natomiastA,B,C,l,b,csąliczbamirzeczy-
wistymi,przyczymzakładamy,żetrójmiankwadratowyx2+bx+cniemapier-
wiastkówrzeczywistych,czylib2−4c<0.
Możnawykazać,żekażdąfunkcjęwymiernąwłaściwązawszemożemyprzed-
stawićjakosumęułamkówprostych.Rozkładnaułamkiprosteprzeprowadzasię
wedługnastępującegoschematu.
Krok1.WielomianQznajdującysięwmianownikurozkładamynaczynniki,
wśródktórychbędąwystępowałytylkoczynnikilinioweikwadratowe(patrz
(1.59)).
Krok2.Funkcjęwymiernąwłaściwąprzedstawiamywpostacisumynastępują-
cychułamkówprostych:
