Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1.Całkinieoznaczone
mamy
f
/(x)=cosx,
oraz,namocywzoru(1.26),dostajemy
g(x)=−cosx,
/sin2xdx=−sinxcosx+/cos2xdx.
Ponieważcos2x=1−sin2x,więc
/sin2xdx=−sinxcosx+/(1−sin2x)dx=
=−sinxcosx+/1dx−/sin2xdx=
=−sinxcosx+x−/sin2xdx,
tzn.
Azatem
skądostatecznie
/sin2xdx=−sinxcosx+x−/sin2xdx.
2/sin2xdx=x−sinxcosx+C,
/sin2xdx=1
2(x−sinxcosx)+C.
I
1.4.Całkowanieprzezpodstawienie
Własność1.4(całkowanieprzezpodstawienie)
JeżelifunkcjafjestciągłanaprzedzialeI1,funkcjagmaciągłąpochodną
naprzedzialeI2ig(I2)⊂I1,tozachodziwzór
/f(g(x))g/(x)dx=/f(t)dt,gdziet=g(x).
(1.37)
Zauważmy,żepowyższywzórsprowadzaobliczeniecałki∫f(g(x))g/(x)dxdoob-
liczeniacałki∫f(t)dt;należypamiętać,abywrócićdopierwotnejzmiennejxza
pomocąpodstawieniat=g(x).
Powyższywzórpokazujerównież,jakwyznaczeniecałki∫f(t)dtsprowadzić
dowyznaczeniacałki∫f(g(x))g/(x)dx,pamiętając,abywrócićdopierwotnej
zmiennejtzapomocąpodstawieniax=g11(t)(oilefunkcjagmafunkcjęod-
wrotną).
