Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
Całkę∫x
1+x2dxobliczamynastępująco:
2
1.Całkinieoznaczone
/
1+x2
x2
dx=/
1+x2−1
1+x2
dx=/1dx−/
1+x2
1
dx=x−arctgx+C.
Ostatecznieotrzymujemy
/xarctgdx=
x2
2
arctgx−
1
2
(x−arctgx)+C=
=
x2
2
arctgx−
x
2
+
1
2
arctgx+C=
=
x2+1
2
arctgx−
x
2
+C.
Ćwiczenie1.18.Obliczyćcałkę
/x2exdx.
Rozwiązanie.Przyjmując
f(x)=x2,
g
/(x)=ex,
mamy
f
/(x)=2x,
g(x)=ex,
awówczas,namocywzoru(1.26),otrzymujemy
/x2exdx=x2ex−2/xexdx.
Ponieważ
/xexdx=ex(x−1)+C
(patrzwzór(1.27)),więcostatecznie
/x2exdx=x2ex−2ex(x−1)+C=ex(x2−2x+2)+C.
Ćwiczenie1.19.Wyznaczyćcałkę
/ln2xdx.
Rozwiązanie.Oznaczmy
f(x)=ln2x,
g
/(x)=1.
Mamywtedy
f
/(x)=2lnx·
x
1
,
g(x)=x.
I
I
