Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.6.Całkowaniefunkcjiwymiernych
31
Ostatniącałkęobliczymyrównieżprzezpodstawienie.Niecht2=s.Wtedy2tdt=
dsoraz
/
t4+1
2t
dt=/
s2+1
ds
=arctgs+C=arctgt2+C.
(1.56)
Uwzględniającterazzależność(1.56)w(1.55),mamy
/
ln(t4+1)
t3
dt=−
ln(t4+1)
2t2
+arctgt2+C.
(1.57)
Podstawiając(1.57)do(1.54)iwracającdozmiennejx,ostateczniedostajemy
/
ln(sin4x+1)cosx
sin3x
dx=−
ln(sin4x+1)
2sin2x
+arctg(sin2x)+C.
I
Ćwiczenie1.48.Obliczyćcałkę
/xx(lnx+1)dx.
Rozwiązanie.Ponieważ
xx=elnx
x
=exlnx,
więc
/xx(lnx+1)dx=/exlnx(lnx+1)dx=
|
|
|
|
(lnx+1)dx=dt
xlnx=t
|
|
|
|
=
=/etdt=et+C=exlnx+C=xx+C.
I
1.6.Całkowaniefunkcjiwymiernych
FunkcjęP:R→Rpostaci
P(x)=loxn+l1xn11+...+ln11x+ln,x∈R,
(1.58)
gdzielo,l1,...,lnsądowolnymiliczbamirzeczywistymi,lo/=0,anjestdowolną
liczbąnaturalną,nazywamywielomianemn-tegostopnia.
Możnawykazać,żekażdywielomiandajesięrozłożyćtak,żewjegozapisie
występujączynnikistopniapierwszegolubdrugiego.Ogólnapostaćtegorozkładu
jestnastępująca:
P(x)=lo(x−x1)l1(x−x2)l2...(x−xk)lk·
(1.59)
·(x2+b1x+c1)r1(x2+b2x+c2)r2...(x2+b5x+c5)rs,
gdziel1,...,lk,r1,...,r5(k,s=1,2,...)sąliczbaminaturalnymispełniającymi
warunekl1+...+lk+2r1+...+2r5=n(sumastopniwszystkichczynników
równasięn),liczbyx1,...,xksąpierwiastkamiwielomianuP,x2+bix+cisą
trójmianamikwadratowymioujemnymwyróżniku(b2
i−4ci<0),i=1,...,s.
