Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Całkowanieprzezczęści
11
nieoznaczonejmamy
(−e
1x+C)
/=−e1x(−x)/=e1x.
Ostatecznieotrzymujemy
/
e2x−1
ex
dx=ex+e1x+C.
I
1.3.Całkowanieprzezczęści
Własność1.3(całkowanieprzezczęści)
Jeżelifunkcjefigmająciągłepochodnef/ig/naprzedzialeI,tozachodzi
wzór
/f(x)g/(x)dx=f(x)g(x)−/f/(x)g(x)dx.
(1.26)
Całkowanieprzezczęścistosujemydoobliczaniacałek,którychniemożemybez-
pośrednioobliczyć,korzystajączpodstawowychwzorów.Metodatapozwalaspro-
wadzićzapomocąwzoru(1.26)obliczeniecałki∫f(x)g/(x)dxdoobliczeniacałki
∫f/(x)g(x)dx.Całkowanieprzezczęścijestprzydatnewtedy,gdyostatniacałka
jestłatwiejszadoobliczenianiżcałkawyjściowa.
Chcielibyśmy,abyczytelnikzwróciłterazszczególnąuwagęnafakt,żewzoru
nacałkowanieprzezczęścimożemyużyćtylkowtedy,gdyfunkcjepodcałkowewy-
stępującewtymwzorzemająciągłepochodnenaprzedzialecałkowania.Wdalszej
częścicałkujemytylkofunkcjeelementarne,atemająciągłepochodnewswoich
dziedzinach.
Ćwiczenie1.10.Obliczyć
/xcosxdx.
Rozwiązanie.Doobliczeniapodanejcałkizastosujemymetodęcałkowania
przezczęści.Oznaczając
f(x)=x,
g
/(x)=cosx,
mamy
f
/(x)=1,
g(x)=sinx.
Korzystającterazzewzoru(1.26),otrzymujemy
/x
\\f/
cosx
\\f/
dx=x
\\f/
sinx
\\f/
−/1
\\f/
sinx
\\f/
dx=
f(x)
gl(x)
f(x)
g(x)
fl(x)
g(x)
=xsinx−/sinxdx=xsinx+cosx+C.
I
