Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
1.Całkinieoznaczone
Rozwiązanie.Zadanierozwiążemydwomasposobami.
Sposób1.Zauważmy,że
/
√1+2x2+x4
4x+4x3
dx=/
(1+2x2+x4)/
√1+2x2+x4
dx,
skądnamocywzoru(1.39)dostajemy
/
√1+2x2+x4
4x+4x3
dx=2d1+2x2+x4+C=2J(1+x2)2+C=
=2|1+x2|+C=2(1+x2)+C.
Sposób2.Mamy
/
√1+2x2+x4
4x+4x3
dx=/
d(1+x2)2
4x(1+x2)
dx=/
4x(1+x2)
|1+x2|
dx=
=/
4x$$$$
$$$
1+x2
(1+x2)
$
dx=/4xdx=4
x2
2
+C=2x2+C.I
Uwaga1.8.Czytelnikazainteresowanegocałkowaniemfunkcji,wktórychzapisie
występująpierwiastki(patrzćw.1.37i1.38),odsyłamydojednegozdalszych
podrozdziałów,którywcałościjestpoświęconycałkowaniufunkcjiniewymiernych
(patrzpodrozdz.1.7).
1.5.Całkowanieprzezczęściipodstawienie
Pokażemyteraznakilkuprzykładach,jakwymienniestosowaćmetodycałkowania
przezczęściiprzezpodstawienieomówionewpoprzednichpodrozdziałach.
Ćwiczenie1.39.Obliczyćcałkę
/
xlnxln(lnx)
dx
.
Rozwiązanie.Stosującdwukrotniemetodęcałkowaniaprzezpodstawienie,do-
stajemy
/
xlnxln(lnx)
dx
=
|
|
|
|
xdx=dt
1
lnx=t
|
|
|
|
=/
tlnt
dt
=
|
|
|
|
1
tdt=ds
lnt=s
|
|
|
|
=
=/
ds
s
=ln|s|+C=ln|lnt|+C=
=ln|ln(lnx)|+C.
Ćwiczenie1.40.Niechr/=0.Obliczyćcałki
/xdr2−x2dxoraz/xdx2−r2dx.
I
