Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
38
1.Całkinieoznaczone
Całkipostaci
/
x2+bx+c
Bx+C
Ix.
(1.70)
Podobniejakwprzypadkucałekpostaci(1.66),całkitewyznaczamywzależ-
nościodznakuwyróżnikatrójmianukwadratowegox2+bx+c.
Przypadek1.Jeżeli∆>0,tofunkcjępodcałkowąrozkładamynaułamkipro-
ste.
Przypadek2.Jeżeli∆<0,toszukanącałkęprzedstawiamywpostacisumy
dwóch„znanych”całek:
/
x2+bx+c
Bx+C
dx=A1/
x2+bx+c
2x+b
dx+A2/
x2+bx+c
dx
,
gdziewspółczynnikiA1iA2spełniająrównanie
Bx+C=A1(2x+b)+A2.
Wtedy
A1=
B
2
,
A2=C−A1b=C−
Bb
2
orazwzór(1.71)przyjmujepostać
(1.71)
(1.72)
/
x2+bx+c
Bx+C
dx=
B
2/
x2+bx+c
2x+b
dx+(C−
Bb
2)/
x2+bx+c
dx
=
=
B
2
ln(x2+bx+c)+(C−
Bb
2)/
x2+bx+c
dx
.
Uwaga1.10.Zauważmyjeszcze,żenamocyrozkładu(1.72)współczynnikA1jest
ilorazemlicznikaBx+Cfunkcjipodcałkowejprzezpochodną2x+bmianownika
funkcjipodcałkowej,awspółczynnikA2jestresztąztegodzielenia.
Uwaga1.11.Zauważmy,żewprzypadku∆>0możemyrównieżpostępowaćana-
logiczniejakwprzypadku2.
Ćwiczenie1.57.Obliczyćcałkę
/
x2−5x+6
3x+2
dx.
Rozwiązanie.Ponieważwyróżniktrójmianuznajdującegosięwmianowniku
funkcjipodcałkowej∆=1>0,więcfunkcjępodcałkowąrozłożymynaułamki
proste.Ponieważ
x
2−5x+6=(x−2)(x−3),
więcrozkładfunkcjinasumęułamkówprostychwyglądanastępująco:
(x−2)(x−3)
=
x−2
A
+
x−3
B
.
3x+2
