Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
36
1.Całkinieoznaczone
Stądoraznamocywzoru(1.62)otrzymujemy
/
x2−3x−4
dx
=1
5/
x−4
dx
−1
5/
x+1
dx
=
=1
5ln|x−4|−1
5ln|x+1|+C=
=1
5ln
|
|
|
|
x−4
x+1
|
|
|
|
+C.
(1.68)
I
Uwaga1.9.Zauważmy,żestałeAiBwpowyższymćwiczeniumożnawyznaczyć
takżeinnąmetodą.Podstawiającwrównaniu(1.67)najpierwx=4,anastępnie
x=−1(czylipierwiastkitrójmianukwadratowegox2−3x−4),mamy
{
1=5A
1=−5B
,
astąd
A=1
5
orazB=−1
5.
Ćwiczenie1.53.Obliczyćcałkę
/
x2−2x+1
dx
.
Rozwiązanie.Ponieważ∆=0,więctrójmianznajdującysięwmianowniku
funkcjipodcałkowejmajedenpierwiastekpodwójny.Mamy
x
2−2x+1=(x−1)2
oraz,namocywzoru(1.61),
/
x2−2x+1
dx
=/
(x−1)2
dx
=−
x−1
1
+C.
I
Ćwiczenie1.54.Obliczyćcałkę
/
x2+6x+10
dx
.
Rozwiązanie.Ponieważ∆=36−40=−4<0,więctrójmiankwadrato-
wyznajdującysięwmianownikufunkcjipodcałkowejsprowadzamydopostaci
kanonicznej.Mamy
x
2+6x+10=(x+3)2−9+10=(x+3)2+1,
czyli
/
x2+6x+10
dx
=/
(x+3)2+1
dx
.
Stosującpodstawieniet=x+3,mamydt=dx.Stądizewzoru(1.14)dostajemy
/
(x+3)2+1
dx
=/
t2+1
dt
=arctgt+C=arctg(x+3)+C.
I
