Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.6.Całkowaniefunkcjiwymiernych
35
Przypadek1.Jeżeli∆>0,tofunkcjępodcałkowąrozkładamynaułamkiproste.
Przypadek2.Jeżeli∆<0,totrójmiankwadratowysprowadzamydopostaci
kanonicznej
x
2+bx+c=(x+1
2b)
2−1
4b
2+c=(x+1
2b)
2−(b
214c
4
)=(x+1
2b)
2−∆
4,
aobliczanacałkasprowadzasiędocałkipostaci
/
t2+1
dt
=arctgt+C.
Ćwiczenie1.52.Obliczyćcałkę
/
x2−3x−4
dx
.
Rozwiązanie.Ponieważwyróżniktrójmianukwadratowegoznajdującegosię
wmianownikufunkcjipodcałkowej∆=25>0,więcfunkcjępodcałkowąrozkła-
damynaułamkiproste.
Krok1.Mianownikprzedstawiamywpostaciiloczynowej
x
2−3x−4=(x−4)(x+1).
Krok2.Ułamkiprostesąwięcpostaci:
x−4
A
i
x+1
B
,
arozkładfunkcjinasumęułamkówprostychwyglądanastępująco:
(x−4)(x+1)
=
x−4
A
+
x+1
B
.
1
Krok3.Obustronniemnożymypowyższąrównośćprzezwspólnymianownik
(x−4)(x+1),otrzymując
1=A(x+1)+B(x−4)=Ax+A+Bx−4B=(A+B)x+A−4B.(1.67)
Pamiętając,żedwawielomianysąrównewtedyitylkowtedy,gdyichwspółczyn-
nikiprzyodpowiednichpotęgachzmiennejxsąrówne,otrzymujemynastępujący
układrównań:
{
A+B=0
A−4B=1
,
skądA=1
5orazB=−1
5.Mamywięc
1
1
1
(x−4)(x+1)
=
x−4
5
−
x+1
5
.
