Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
1.Całkinieoznaczone
Zaddytywnościcałkimamy
/
x2−1
dx
=
1
2/
x−1
1
dx−
1
2/
x+1
1
dx.
Ponieważ,namocywzoru(1.38)
/
x−1
1
dx=ln|x−1|+C
oraz
/
x+1
1
dx=ln|x+1|+C,
więc
/
x2−1
dx
=
1
2
ln|x−1|−
1
2
ln|x+1|+C,
skądostatecznie
/
x2−1
dx
=
1
2
ln
|
|
|
|
x−1
x+1
|
|
|
|
+C.
(1.43)
Azatem
/
1−x2
dx
=−/
x2−1
dx
=−
1
2
ln
|
|
|
|
x−1
x+1
|
|
|
|
+C=
1
2
ln
|
|
|
|
x+1
x−1
|
|
|
|
+C.
(1.44)
I
Ćwiczenie1.34.Obliczyćcałkę
/
7x+1
x2+1
dx.
Rozwiązanie.Zauważmynajpierw,żecałkęwyjściowąmożemyprzekształcić
dopostaci
/
7x+1
x2+1
dx=
7
2/
x2+1
2xdx
+/
x2+1
dx
.
Drugacałka,namocywzoru(1.14),jestrówna
/
x2+1
dx
=arctgx+C.
(1.45)
Obliczymycałkę∫2xdx
x2+1.Zauważmy,żepochodnamianownikafunkcjipodcałkowej
jestrównajejlicznikowiibezpośredniozewzoru(1.38)mamy
/
x2+1
2xdx
=/
(x2+1)/
x2+1
dx=ln|x2+1|+C=ln(x2+1)+C.
Uwzględniającterazrówności(1.45)i(1.46),ostateczniedostajemy
/
7x+1
x2+1
dx=
7
2
ln(x2+1)+arctgx+C.
(1.46)
I
Uwaga1.7.Czytelnikazainteresowanegocałkowaniemfunkcjibędącychilorazem
dwóchwielomianówodsyłamydojednegozdalszychpodrozdziałów,którywca-
łościjestpoświęconycałkowaniufunkcjiwymiernych(patrzpodrozdz.1.6).
