Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
1.Całkinieoznaczone
Ostatniącałkęobliczymy,stosującmetodęcałkowaniaprzezpodstawieniewna-
stępującysposób:
/ctgxdx=/
cosx
sinx
dx=
|
|
|
|
cosxdx=dt
sinx=t
|
|
|
|
=
=/
dt
t
=ln|t|+C=ln|sinx|+C.
Ostateczniedostajemy
/
sin2x
x
dx=−xctgx+ln|sinx|+C.
I
Ćwiczenie1.43.Obliczyćcałkę
/xln√1−xdx.
Rozwiązanie.Mamy
/xln√1−xdx=
|
|
|
|
|
|
√1−x=t
1−x=t2
x=1−t2
|
|
|
|
|
|
=/(−2t)(1−t2)lntdt=
|
|
dx=−2tdt
|
|
=−2/tlntdt+2/t3lntdt.
Bezpośredniozewzoru(1.30)dostajemy
/xln√1−xdx=−2[
1
2
t
2(lnt−
1
2)]+2[
1
4
t
4(lnt−
1
4)]+C
i,wracającdozmiennejx,otrzymujemy
/xln√1−xdx=−(1−x)(ln√1−x−1
2)+1
2(1−x)2(ln√1−x−1
4)+C.I
Ćwiczenie1.44.Obliczyćcałkę
/arcsinxdx.
Rozwiązanie.Najpierwzastosujemyregułęcałkowaniaprzezczęści,przyj-
mując
f(x)=arcsinxig/(x)=1.
Wtedy
f
/(x)=
√1−x2
1
ig(x)=x
oraz,namocywzoru(1.26),mamy
/arcsinxdx=xarcsinx−/
√1−x2
x
dx.
