Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.Całkowanieprzezczęściipodstawienie
29
Ostatniącałkęobliczymy,stosującpodstawienie1−x2=t2.Wówczas−2xdx=
2tdt,skądxdx=−tdt.Azatem
/
√1−x2
x
dx=−/t
1
t
dt=−t+C=−d1−x2+C.
(1.50)
Ostatecznie
/arcsinxdx=xarcsinx+d1−x2+C.
I
Ćwiczenie1.45.Obliczyćcałkę
/
sinxcosx
ln2(tgx)
dx.
Rozwiązanie.Mamy
/
sinxcosx
ln2tgx
dx=/
tgxcos2x
ln2tgx
dx=
|
|
|
|
cos2xdx=dt
1
tgx=t
|
|
|
|
=/
ln2t
t
dt.
Otrzymanącałkęobliczymy,korzystającponowniezmetodycałkowaniaprzez
podstawienie
/
ln2t
t
dt=
|
|
|
|
lnt=s
dt
t=ds
|
|
|
|
=/s2ds=
s3
3
+C.
Ponieważs=lntorazt=tgx,więcs=ln(tgx).Azatem
/
sinxcosx
ln2(tgx)
dx=
ln3(tgx)
3
+C.
Ćwiczenie1.46.Obliczyćcałkę
I
/2xsin(ln(x2+1))dx.
Rozwiązanie.Stosującpodstawieniex2+1=t,mamy2xdx=dtibezpo-
średniozewzorunacałkowanieprzezpodstawieniedostajemy
/2xsin(ln(x2+1))dx=/sin(lnt)dt.
Obliczymyotrzymanącałkę,całkującprzezczęści.Przyjmując
f1(t)=sin(lnt)ig/
1(t)=1,
mamy
f
1(t)=
/
cos(lnt)
t
ig1(t)=t
oraz,napodstawiewzoru(1.26),
/sin(lnt)dt=tsin(lnt)−/cos(lnt)dt.
(1.51)
(1.52)
