Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Całkowanieprzezpodstawienie
19
Bezpośredniozwłasnościcałkowaniaprzezpodstawieniewynikajądwa,ważne
wzastosowaniach,wzory.
Własność1.5(całkapochodnejlogarytmicznej)
JeżelifunkcjafmaciągłąpochodnąnaprzedzialeIorazf(x)/=0dlawszyst-
kichx∈I,to
/
f/(x)
f(x)
dx=ln|f(x)|+C.
(1.38)
Własność1.6(całkapochodnejpierwiastkowej)
JeżelifunkcjafmaciągłąpochodnąnaprzedzialeIorazf(x)>0dlawszyst-
kichx∈I,to
/
df(x)
f/(x)
dx=2Jf(x)+C.
(1.39)
Ćwiczenie1.22.Obliczyćcałkę
/2xsinx2dx.
Rozwiązanie.Przyjmującf(t)=sintit=g(x)=x2ikorzystajączewzoru
nacałkowanieprzezpodstawienie(1.37),otrzymujemy
/2xsinx2dx=/sinx2
\\f/
2xdx
\\f/
=/sint
\\f/
\\f/
dt
=−cost+C=−cosx2+C,
f(g(x))
gl(x)dx
f(t)
dt
przyczymwostatniejrównościwracamydozmiennejxdziękipodstawieniu
t=x2.
I
Uwaga1.5.Wpowyższymprzykładzieskorzystaliśmybezpośredniozewzoru(1.37).
Wpraktycznymobliczaniucałekmetodącałkowaniaprzezpodstawieniebędziemy
korzystalizbardziej„technicznego”aspektutejmetody.Pokażemytonaprzykła-
dziecałkizpowyższegoćwiczenia.Podstawiamy
x
2=t
(1.40)
iobliczamypochodnefunkcji(odpowiedniozmiennychxit)stojącychzobu
stronpowyższejrówności,anastępniedokażdejznich„formalnie”dopisujemy,
odpowiednio,symboledxidt.Otrzymujemywówczas
2xdx=1dt.
(1.41)
Uwzględniajączależności(1.40)i(1.41)wwyjściowejcałce,dostajemy
/2xsinx2dx=/sinx2
\\f/
2xdx
\\f/
=/sintdt=−cost+C.
t
1dt
