Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.WYMIARIBAZA
13
irozszerzymytomnożenieliniowonawszystkiefunkcjef=Σf(x)δx,g=
Σg(x!)δxi:
f∗g=Σ
f(x)g(x!)δxxi=Σ
(Σ
f(x)g(x-1g))δy.
x,xi∈X
y∈X
x∈X
Operacjatanosinazwęsplotufunkcji.JeśliX={x1,...,xn}irozpatrzymy
wKXbazę(∆1,...,∆n),gdzie∆i=δx
i,ponumerowanąliczbaminaturalnymi,to
natychmiastpowstanątrudnościzustaleniemnumerukwewzorze∆i∗∆j=∆k.
3.Współrzędne.Izomorfizmprzestrzeni.Twierdzenie3pozwalana
wprowadzenienastępującejdefinicji:
DEFINICJA5.Niech(e1,...,en)będziebaząprzestrzeniliniowejVnadK.
Skalaryλ1,...,λn∈Kwystępującewrozkładzie
v=λ1e1+...+λnen
nazywamywspółrzędnymiwektorav∈Vwtejbazie.
Jeślix=α1e1+...+αneniy=B1e1+...+Bnen,tox+y=(α1+B1)e1
+...+(αn+Bn)en,tj.przydodawaniuwektorówichwspółrzędnesiędodają.
Ponieważλx=λα1e1+...+λαnen,przymnożeniuwektoraxprzezskalarλ
współrzędnewektoraxmnożysięprzeztenskalar.Wektor,któregowszystkie
współrzędnesązerami,jestwektoremzerowym.
Jakjużzauważyliśmy,jednązbazwprzestrzeniPnwielomianówzR[t]stopni
<n−1stanowiąwektoryeo=1,e1=t,
...,en-1=tn-1.Współrzędnymi
wielomianuf(t)=αo+α1t+...+αn-1tn-1wtejbaziesąjegowspółczynniki
αo,α1,...,αn-1.Jeśliα∈Kitensamwielomianf(t)zapiszemywpostaci
f(t)=f(α)+f!(α)(t−α)+...+
f(n-1)(α)
(n−1)!
(t−α)n-1,
towidać,żejegowspółrzędnewbaziee!
o=1,e!
1=t−α,
...,e!
n-1=(t−α)n-1
wynoszą
f(α),f!(α),
...,
f(n-1)(α)
(n−1)!
.
WprzestrzeniRnwspółrzędnymiwektorax=(α1,...,αn)wbaziee1=
(1,0,...,0),e2=(0,1,0,...,0),
...,en=(0,...,0,1)(dawniejpisaliśmyE(1),
E(2),...,E(n))sąliczbyα1,...,αn;istniejejednakwtejprzestrzeniwieleinnych
baz,wktórychwspółrzędnymitegosamegowektoraxsązupełnieinneukłady
liczb.
Rozpatrzmytęsamąsytuacjęwogólnymprzypadku.NiechVbędzien-wy-
miarowąprzestrzeniąliniowąnadciałemKiniech(e1,...,en)i(e!
1,...,e!
n)będą
