Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.WYMIARIBAZA
15
Udowodniliśmyzatem
TWIERDZENIE4.Jeśliprzejścieodbazy(e1,...,en)dobazy(e!
1,...,e!
n)prze-
strzeniVjestwyznaczoneprzezmacierzA,towspółrzędnewektorawnowejbazie
wyrażająsięprzezstarewspółrzędnezapomocąmacierzyA-1.
Wartopodkreślić,żemającjawnewyrażeniewektorównowej(primowanej)
bazyprzezwektorystarejbazy(wzór(3)),łatwowyrazićstarewspółrzędnewek-
toraprzeznowe(wzór(4);zwróćmyjednakuwagęnaporządeksumowania);na-
tomiastwyrażenienowychwspółrzędnychprzezstarewymagadokonaniapra-
cochłonnejoperacjiodwróceniamacierzyprzejścia.Stosowaniewspółrzędnych
pozwalanasprowadzenieoperacjinawektorachdooperacjinaskalarach(np.
liczbachzR),arozsądnywybórukładuwspółrzędnych(bazy)częstoradykalnie
upraszczarachunki.
Wykorzystamyterazpojęciebazy,czyliukładuwspółrzędnych,byutożsamić
algebraiczniedwieprzestrzenieliniowetegosamego(skończonego)wymiaru.
DEFINICJA6.PrzestrzenielinioweViWnadciałemKnazywamyizomor-
ficznymi,jeśliistniejeizomorfizmf:V→W,tzn.odwzorowaniebijektywne
spełniającewarunek
f(αu+Bv)=αf(u)+Bf(v)
(6)
dladowolnychα,B∈Korazu,v∈V.Inaczejmówiąc,fjestizomorfizmem
grupaddytywnychprzestrzeniViW,spełniającymdodatkowowarunekf(αu)=
αf(u).Oodwzorowaniu(niekonieczniebijektywnym)spełniającymwarunek(6)
mówimy,żejestliniowenadKlubK-liniowe.
Zpowyższejdefinicjiwynika,żejeślif:V→Wjestizomorfizmemprzestrzeni
liniowych,toodwzorowanief-1:W→Vjestrównieżizomorfizmem.Ponadto
złożenieizomorfizmów
U
→V
g
→W
f
jestteżizomorfizmem.Widaćodrazu,żewymiarjestniezmiennikiemizomorfi-
zmu:jeśli(e1,...,en)jestbaząwV,to(f(e1),...,f(en))jestbaząwW,ina
odwrót.Okazujesię,żeinnychniezmiennikówizomorfizmuniema:
TWIERDZENIE5.Wszystkieprzestrzenielinioweustalonego(skończonego)wy-
miarunnadciałemKsąizomorficzne;ściślejmówiąc,wszystkieonesąizomor-
ficznezprzestrzeniąkartezjańskąKn.
Dowód.Niech(e1,...,en)będziejakąkolwiekbaząprzestrzenin-wymiarowejV.
Współrzędneα1,...,αnkażdegowektorax=α1e1+...+αnensąwyznaczone
jednoznacznie,więcodpowiedniość
f:x→(α1,...,αn)
