Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.WYMIARIBAZA
21
Przypominatokonstrukcjępłaszczyznykartezjańskiejzbudowanejnadwóch
osiachwspółrzędnych.
Wektory(u,0)generująwVpodprzestrzeń~
U,izomorficznązU,awektory
(0,w)generująpodprzestrzeń~
W,izomorficznązW.Izomorfizmamisątuoczy-
wiścieodwzorowania(u,0)→ui(0,w)→w;ponadtozachodzirówność
zewnętrzna
U⊕W
\~,/
=V=~
wewnętrzna
U⊕~
\~,/
W
.
Wdalszymciągubędziemymiećgłówniedoczynieniazwewnętrznymisumami
prostymi,dlategoniebędziemyprecyzować,ojakiejsumiemowa.
6.Przestrzenieilorazowe.DladanejpodprzestrzeniliniowejL⊂Vistnieje
naogółwielepodprzestrzenidopełniającychM⊂V,dlaktórychV=L⊕M.
Wszystkietedopełnieniasąjednakizomorficznezpewnąprzestrzeniąliniową,
którąkonstruujesięzViLwsposóbcałkowicieniezmienniczy,niezależnyod
jakichkolwiekwyborów.
SpójrzmynaViLjaknagrupyabelowe.Zbiór
x+L={x+y|y∈L}
nazywamywarstwągrupyVwzględempodgrupyLoreprezentanciex.Jeśli
0/=z∈(x+L)∩(x!+L),tox+y=x!+y!=zdlapewnychy,y!∈L,
astądx+L=x!+L=z+L.Zatemdwiewarstwysąalboidentyczne,alboroz-
łączne.DlaustalonegoLprzyjmijmyx:=x+L.Każdywektorv∈Vnależydo
jakiejśwarstwyijeślioznaczymyprzezV=V/LzbiórwszystkichwarstwgrupyV
względempodgrupyL,towzbiorzeVmożnawprowadzićstrukturęgrupyabelo-
wej,definiującx+x!=x+x!.Przemiennośćiłącznośćtegodziałaniasprawdza
siębezpośrednio.Warstwa0=Ljestoczywiścieelementemzerowymtejgrupy:
x+0=x+0=x.Ponadto−x=−x.
Jeślidlakażdegoλ∈Kprzyjmiemyλx=λx,tj.λ(x+L)=λx+L,to
łatwosięprzekonać,żespełnionesąwszystkieaksjomaty(PL1)–(PL8)z§1.Na
przykład
1·(x+L)=1·x+L=x+L,
α(B(x+L))=α(Bx+L)=αBx+L=(αB)(x+L).
WtensposóbwzbiorzeV=V/Lwprowadziliśmynaturalnąstrukturęprze-
strzeniliniowej,zwanejprzestrzeniąilorazowąprzestrzeniVwzględempodprze-
strzeniL.Zamiastowarstwach,moglibyśmyrówniedobrzemówićoklasachrów-
noważnościwzględemrelacjiokreślonejwzorem
x≡x!(modL)⇔x−x!∈L.
