Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY
międzywektoramizVizKnjestwzajemniejednoznaczna.Jeśliy=B1e1+...+
Bnen,to
αx+By=(αα1+BB1)e1+...+(ααn+BBn)en.
Wobectego
f(αx+By)=(αα1+BB1,...,ααn+BBn)
=α(α1,...,αn)+B(B1,...,Bn)=αf(x)+Bf(y),
cooznacza,żefjestizomorfizmem.
Udowodnionetwierdzenieoznaczawistocie,żewybierającbazęwprzestrze-
niV,możemyutożsamićtęprzestrzeńzKn.Rozpatrywaniewszystkichzagadnień
liniowychwKnbyłobyjednakskrajnieniewygodne,ponieważnaszymostatecz-
nymcelemjestotrzymanierezultatówniezależnychodwyborubazy.Pozatym
przejściedoKnspowodowałobyutratępoglądowychaspektówwieluprzestrzeni
liniowych,np.zwykłejprzestrzenitrójwymiarowej,przestrzeniwielomianówitp.
Ostrzeżenie.JeślimiędzyprzestrzeniamiliniowymiViWistniejeizomorfizm,
tojestonjednoznaczniewyznaczonyjedyniewdwóchbardzospecjalnychprzy-
padkach:(1)gdyV=W={0};(2)gdydimV=1=dimWiKjestciałem
dwuelementowym(Czytelnikpowinienspróbowaćtoudowodnić).Wewszystkich
innychprzypadkachizomorfizmówjestwiele.
Zdarzasięniekiedy,żepomiędzydwiemaprzestrzeniamiliniowymiistnieje
pewienwyróżnionyizomorfizm,niezależnyodjakichkolwiekwyborów,np.odwy-
borubazwobuprzestrzeniach.Takieizomorfizmynosząnazwękanonicznych
lubnaturalnych,wodróżnieniuodpozostałych,„przypadkowych”izomorfizmów.
Przykładizomorfizmukanonicznegopoznamywnastępnymparagrafie.
4.Częśćwspólnaisumaalgebraicznapodprzestrzeni.Zastosujemyte-
razdopodprzestrzeniliniowychznanedziałaniateoriomnogościoweczęściwspól-
nejisumy.CzęśćwspólnaU1∩U2dwóchpodprzestrzeniliniowychU1,U2⊂V
jestoczywiściepodprzestrzeniąliniową.Tosamoodnosisiędoczęściwspólnej
U=Π
i∈IUidowolnejrodziny{Ui|i∈I}podprzestrzeniliniowych(możesię
zdarzyć,żeUjestpodprzestrzeniązerową).Istotnie,wektorzerowy,należący
dowszystkichUi,należydoU,awięcUjestzbioremniepustym.Jeśliponadto
x,y∈U,tokażdaichkombinacjaliniowaαx+BynależydowszystkichUi,awięc
należydoU.
Zauważmy,żesumateoriomnogościowaU1∪U2dwóchpodprzestrzenilinio-
wychnaogółniejestpodprzestrzeniąliniową.Jeślinp.e1,e2sąliniowoniezależ-
nymiwektoramiwVorazU1=(e1)iU2=(e2),toU1∪U2niezawierawektora
e1+e2.
NajmniejsząpodprzestrzeniąliniowąwVzawierającąU1iU2jestoczywiście
U={u1+u2|u1∈U1,u2∈U2}.
