Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY
dwiemabazamitejprzestrzeni.Wektoryjednejbazymożnawyrazićprzezwektory
drugiej:
e!
1=a11e1+a21e2+...+an1en,
.................................
(3)
e!
n=a1ne1+a2ne2+...+annen.
Współczynnikiaij∈Ktworząmacierz
a11
a12
...
a1n
A=(aij)=
a21
...................
a22
...
a2n
,
an1an2...ann
zwanąmacierząprzejściaodbazy(e1,...,en)do(e!
1,...,e!
n).Podkreślmy,że
współrzędnewektorae!
jwbazie(e1,...,en)stanowiąj-tąkolumnęmacierzyA.
Załóżmy,żewektorv∈Vmawbazie(e1,...,en)współrzędneλ1,...,λn,
awbazie(e!
1,...,e!
n)—współrzędneλ!
1,...,λ!
n,tj.
λ1e1+...+λnen=v=λ
!
1e!
1+...+λ!
ne!
n.
Popodstawieniudotejrównościwzorów(3)otrzymujemy
v=λ1e1+...+λnen
=λ!
1(a11e1+a21e2+...+an1en)+...+λ
!
n(a1ne1+a2ne2+...+annen),
skąd
λ1=a11λ
!
1+a12λ
!
2+...+a1nλ
!
n,
..................................
λn=an1λ
!
1+an2λ
!
2+...+annλ
!
n,
(4)
lub,jakpisaliśmywczęściI(rozdz.2),
X=AX!,
(4!)
gdzieX=[λ1,...,λn]iX!=[λ!
1,...,λ!
n]tokolumnystarychinowychwspół-
rzędnych.
Wzory(4)i(4!)wyrażająstarewspółrzędneλ1,...,λnwektoravprzez
jegonowewspółrzędneλ!
1,...,λ!
nzapomocąprzekształcenialiniowegoomacie-
rzyA.Równiedobrzemogliśmyzacząćodwyrażeniawektorówe1,...,enprzez
e!
1,...,e!
n(obiebazywVsąrównouprawnione),otrzymującwzory
λ!
i=a!
i1λ1+a
!
i2λ2+...+a
!
inλn,
i=1,...,n.
(5)
Istnienietychwzorówoznacza,żeprzekształcenielinioweomacierzyAjestod-
wracalne,tj.detA/=0,iwzory(5)przyjmująpostać
X!=A-1X,
A-1=(a!
ij).
