Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY
Alewektorye1,...,ensąliniowoniezależne,więcwszystkiewspółczynnikisą
zerami:
B1−γ1=...=Bn−γn=0,
tj.B1=γ1,...,Bn=γn.Wtensposóbudowodniliśmyjednoznacznośćprzedsta-
wienia.
(ii)Rozpatrzmyukładwektorów
f1,...,fs;e1,...,en.
(1)
Usuńmyzukładu(1)kolejnowszystkietewektory,któresąkombinacjamili-
niowymipoprzednichwektorówwtymciągu.Założyliśmy,żef1,...,fssąliniowo
niezależne,więcżadenznichniezostanieusuniętyiwrezultacieotrzymamyukład
f1,...,fs;ei
1,...,ei
t.
Przypuśćmy,żeistniejenietrywialnazależnośćliniowa
α1f1+...+αsfs+B1ei
1+...+Btei
t=0.
(2)
NiechBkbędzieniezerowymwspółczynnikiemonajwiększymnumerze.Wtedy
wektorei
k
możnaprzedstawićjakokombinacjęliniowąpoprzednichwektorów
ciągu(2),cojestniemożliwenamocykonstrukcji.Zdrugiejstrony,zgodniez(i)
wszystkiewektoryzVwyrażająsięliniowoprzezwektorybazy(e1,...,en),tym
bardziejprzezwektoryukładu(1),awięciprzezwektoryukładu(2).Wynika
stąd,żeukład(2)jestmaksymalny.JestonwięcbaząprzestrzeniV,aei
1,...,ei
t
toszukaneuzupełnieniedobazy.
Stwierdzenie(ii)nazywasiętradycyjnietwierdzeniemSteinitzaowymianie.
JeśliV1,V2topodprzestrzeniewVwymiarówodpowiednior1,r2,tooczywistym
wnioskiemz(ii)jestimplikacja
V1§V2⇒r1<r2.
Uwaga1.LiczbaelementówbazyprzestrzeniskończeniewymiarowejVnieza-
leżyodwyborubazyiniekiedyuważasiębazępoprostuzapodzbiórwV.Nu-
meracja(lubporządek)elementówbazowychmajednakznaczeniewformalizmie
macierzowym,oczymsięwkrótceprzekonamy.Strukturazbioruindeksującego
bazęzależynaogółodkonkretnegokontekstu.Niezawszeindeksamisąliczby
naturalne.Naprzykładbaza(δx|x∈X)złożonazdeltDiracawprzestrzeni
KX(gdzieKjestciałemi|X|<∞;§1,przykład4)jestwnaturalnysposób
ponumerowanaprzezelementyx∈X.JeśliponadtoXjestgrupąskończoną,
toprzestrzeńliniowaKXfunkcjiokreślonychnaXowartościachwcieleKma
strukturęalgebrywymiaru|X|nadK(zob.definicjęw§1,koniecp.2),jeśli
zdefiniujemy
δx∗δxi=δxxi
Vx,x!∈X
