Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.WYMIARIBAZA
11
Przykład4.PrzestrzeńPnwielomianówstopni<n−1jednejzmiennejma
wymiarn.Liniowoniezależnesąnp.wektory1,t,...,tn-1.
Przykład5.Przestrzeńformjednorodnychstopniakodmzmiennych(łącz-
niezzerem)mawymiarn=(
k+m-1
k
)(Czytelnikpowinientosprawdzić).
Wdwóchostatnichprzykładachłatwowskazaćukładynwektorówliniowo
niezależnych.Abyznaleźćwymiar,trzebasięjeszczeprzekonać,żewtychprze-
strzeniachniemaukładówwektorówwiększegorzędu.Wtymcelu,jaksięCzy-
telnikzapewnedomyśla,wykorzystujesiętwierdzenie2ijegokonsekwencje.
DEFINICJA4.NiechVbędzien-wymiarowąprzestrzeniąliniowąnadciałemK.
Każdyukładnwektorówliniowoniezależnyche1,...,en∈Vnazywamybazą
przestrzeniV.
Wygodniejestprzyjąć,żebazęprzestrzenizerowymiarowejstanowipusty
zbiórwektorów.IstnieniebazywVwynikazdefinicjiprzestrzenin-wymiarowej.
Następującetwierdzeniepokazujewszczególności,jakmającjednąbazęprze-
strzeni,możnakonstruowaćinnebazy.
TWIERDZENIE3.NiechVbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałemKzbazą
(e1,...,en).Wtedy:
(i)każdywektorv∈Vmożnaprzedstawić,nadokładniejedensposób,wpostaci
kombinacjiliniowejwektorówe1,...,en;
(ii)każdyukłads<nwektorówliniowoniezależnychf1,...,fsprzestrzeniV
możnauzupełnićdobazyelementamibazy(ei);wszczególnościkażdywektor
v/=0jestelementempewnejbazy.
Dowód.(i)Jeślidodanejbazydołączymywektorv∈V,tozgodniezdefinicją
przestrzenin-wymiarowejotrzymamyukładliniowozależny,przyczymwkażdej
nietrywialnejzależności
αv+α1e1+...+αnen=0
współczynnikαjestróżnyodzera.Zatem
v=(−α-1α1)e1+...+(−α-1αn)en
jestkombinacjąliniowąwektorówbazowych.
Gdybyistniałydwaprzedstawienia
B1e1+...+Bnen=v=γ1e1+...+γnen,
toodejmującje,otrzymalibyśmyrówność
(B1−γ1)e1+...+(Bn−γn)en=0.
