Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.WYMIARIBAZA
9
Jeślijedenzwektorówv1,...,vnjestzerowy,wektoryteniemogąbyćliniowo
niezależne:jeślinp.v1=0,toprzyjmującα1=1,α2=...=αn=0,otrzymamy
nietrywialnąkombinacjęliniowąrównązeru.
TWIERDZENIE1.Wektoryv1,...,vn,gdzien>2,sąliniowozależnewtedy
itylkowtedy,gdyjedenznichjestkombinacjąliniowąpozostałych.Układwek-
torówv1,...,vnjestliniowozależny,jeślijakakolwiekjegoczęśćjestliniowoza-
leżna.Inaczejmówiąc,jeśliukładwektorówjestliniowoniezależny,toikażdy
jegopodukładjestliniowoniezależny.
Świadomiepomijamydowódtegotwierdzenia,ponieważjestondostatecznie
oczywistyistanowipowtórzenieodpowiedniegodowoduzczęściI(rozdz.2,§1).
Tamrównieżfaktycznieudowodniliśmy
TWIERDZENIE2.JeśliwprzestrzeniVkażdywektorukładuliniowoniezależ-
negoe1,...,esjestkombinacjąliniowąwektorówukładuf1,...,ft,tos<t.
Dowód.RozumujemytaksamojakwczęściI(przyniecoinnychoznaczeniach).
Namocyzałożenia
e1=α11f1+α21f2+...+αt1ft,
...............................
es=α1sf1+α2sf2+...+αtsft,
gdzieαijsąpewnymiskalarami.Przypuśćmy,żes>t.Utwórzmykombinację
liniowąwektorówe1,...,esowspółczynnikachxj:
x1e1+...+xses
=(α11x1+α12x2+...+α1sxs)f1+...+(αt1x1+αt2x2+...+αtsxs)ft
irozważmyukładtrównańliniowychosniewiadomych
α11x1+α12x2+...+α1sxs=0,
................................
αt1x1+αt2x2+...+αtsxs=0.
Ponieważzałożyliśmy,żes>t,więctenukładjednorodnymarozwiązanienie-
zerowe(B1,...,Bs)(częśćI,rozdz.1,§3,wniosek2,atakżerozdz.4,§3,gdzie
sformułowanoważnądlanasuwagęoukładachliniowychzewspółczynnikami
wdowolnymciele).Oznaczato,żeB1e1+...+Bses=0jestnietrywialnązależ-
nościąliniową,wbrewzałożeniutwierdzenia.Wobectegos<t.
WNIOSEK.DowolnedwarównoważneukładyliniowoniezależnewVzawierają
tęsamą(byćmożenieskończoną)liczbęwektorów.
Przytymdwaukładywektorówuważamyzarównoważne,jeślikażdywektor
jednegoukładujestkombinacjąliniowąwektorówdrugiegoukładu.Równoważne
