Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§1.ABSTRAKCYJNEPRZESTRZENIELINIOWE
7
nitrójwymiarowej,wktórejżyjemy.Pomnożeniutakiegoodcinkaprzezliczbę
λ∈Rodpowiadajegorozciągnięcie(gdy|λ|>1)lubskrócenie(gdy|λ|<1)
wskali|λ|,połączonezezmianązwrotuodcinka,gdyλ<0.Dodawanieod-
cinkówskierowanychodbywasięwedługregułyrównoległoboku.Tęrzeczywistą
przestrzeńliniowąmożnateżutożsamićzezbioremwszystkichwektorówswobod-
nych,jeślidwaodcinkiskierowaneuznamyzarówne,gdyjedenznichmożna
przesunąćrównoleglenadrugi.
ObiektyfizycznejprzestrzenitrójwymiarowejR3
fizmożnanarysować.Dlaprze-
strzeniowyższychwymiarach(owymiarzebędziemowaw§2)naszaintuicja
zostajewystawionanaciężkąpróbę;mimotostałeodwoływaniesiędowyobra-
żeńgeometrycznychjestnietylkopożyteczne,alenawetniezbędne—wytwarza
trwałeskojarzenia,ożywiająceteorię.
Osobliwościgeometriiprzestrzeniliniowejmogąbyćteżzwiązanezosobliwo-
ściamiciałaK.Jeślinp.K=C,toprostanadCjestjednowymiarowąprzestrzenią
kartezjańskąC1.JejreprezentacjągeometrycznąjestpłaszczyznaR2liczbzespo-
lonych,którejnienależymylićzC2.Liczbiez=x+ig∈Codpowiadapunkt
(x,g)∈R;mnożenieprzeza/=0odpowiadarozciągnięciuwskali|a|,połączo-
nemuzobrotemokątargawkierunkuprzeciwnymdoruchuwskazówekzegara.
Wszczególnościdlaa=−1ograniczeniedoR1obrotuC1o180◦daje„odwró-
cenie”osiR1.Wrozdziale3(§4)omówimyoperacjekompleksyfikacjiiurze-
czywistnienia,pozwalającenawykorzystaniealgebraicznejdomkniętościciałaC
wpracyzprzestrzeniamirzeczywistymi,azdrugiejstronynarozpatrywanieCn
jako2n-wymiarowejrzeczywistejprzestrzeniR2n.
Zauważmyjeszcze,żeprzestrzeńR3
fizmastrukturęowielebogatsząniżprze-
strzeńkartezjańskategosamegowymiaru,gdyżwR3
fizokreślonesądługościwek-
torówikątymiędzynimi,atakżepolaiobjętościfigur.Całątędodatkowąinfor-
macjęprzenosimyniechcącynarysunkimającezobrazowaćwłasnościabstrakcyj-
nychprzestrzeniliniowych,którychaksjomatykajestuboższa.Wzbogaceniejej
pojęciamimetrycznyminastąpidopierowdalszychrozdziałach.
PiętnowyciśniętenaprzestrzeniVprzezjejciałoskalarówwidaćrównież
wtym,żejeśliciałoKjestskończone,toobrazygeometryczneprzeniesionezR3
Rys.1
