Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§1.ABSTRAKCYJNEPRZESTRZENIELINIOWE
5
Ogólniej:jeśliciałoKjestrozszerzeniemciałaP,toKmożnarozpatrywać
jakoprzestrzeńliniowąnadP.NaprzykładciałoCliczbzespolonychjest
przestrzeniąliniowąnadciałemRliczbrzeczywistych,aR—przestrzenią
liniowąnadciałemQliczbwymiernych.
Przykład3(n-wymiarowaprzestrzeńkartezjańskaKn).Definiujemy
V=Knjakoprzestrzeńwektorówwierszowychodługościn(częśćI,rozdz.2,
gdzieciałoRmożnazastąpićdowolnymciałemK).Dlan=1otrzymujemy
poprzedniprzykład.Wkrótcesięprzekonamy,żekażdapodprzestrzeńliniowa
U⊂Knjestprzestrzeniąrozwiązańpewnegoukładuliniowegojednorodnego.
Przykład4(przestrzeńfunkcji).WczęściI(rozdz.1,§4,p.1)zdefi-
niowaliśmypierścieńfunkcjiKX,którywprzypadku,gdyKjestciałem,jest
ponadtoprzestrzeniąliniową.NiechwięcXbędziedowolnymzbiorem,K—
ciałem,aKX—zbioremodwzorowań(funkcji)f:X→Kzdodawaniem
imnożeniemprzezskalarywartościfunkcjiwkażdympunkcie:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
dlakażdegox∈X,
(λf)(x)=λ(f(x))
dladowolnychλ∈Kix∈X.
Każdemuelementowix∈Xmożnaprzyporządkowaćfunkcjęδx:X→K
zwanądeltąDiracaonośnikuwx:
δx(x)=1,
δx(x
!)=0,
x/=x!.
JeśliX={1,...,n},tozamiastδi(j)używamyzwyklesymboluKroneckera
δij.WtymprzypadkuKXmożnautożsamićzKn:funkcjifodpowiadawek-
torwierszowy(f(1),...,f(n)),lub,conajednowychodzi,funkcjęfmożna
jednoznacznieprzedstawićwpostacikombinacjiliniowejdeltDiraca:
f=f(1)δ1+f(2)δ2+...+f(n)δn.
JeślizbiórXjestnieskończony,podobnestwierdzenieniemasensu,ponieważ
nieskończonesumyfunkcjiniesąokreślone(jeśliwKniematopologii).
Wanalizienajczęściejrozpatrujesięfunkcjeowartościachrzeczywistych,
określonenacałejprostejlubnaprzedziale(a,b)⊂R.Łatwosprawdzić,że
przestrzeńliniowaR(a,b)zawierapodprzestrzeńliniowąR(a,b)
C
funkcjiciągłych,
podprzestrzeńR
(a,b)
C1
funkcjiróżniczkowalnychwsposóbciągłyitd.,ponieważ
wszystkietewłasnościzachowująsięprzydodawaniufunkcjiimnożeniuprzez
skalary.
Przykład5.Wielomianyf∈K[t]stopni<n−1zezwykłymidziałaniami
dodawaniaimnożeniaprzezskalarytworząprzestrzeńliniowąPn.Wartoza-
uważyć,żewielomianyustalonegostopniaknietworząprzestrzeniliniowej.
Zdrugiejstrony,formyjednorodnestopniakodmzmiennych,łączniezze-
rem,tworząprzestrzeńliniową.
