Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY
spośródtychwspółczynnikówjestróżnychodzera.Wówczasdlakażdegoλ∈R
wektor
λ(Σ
i∈I
λixi)=Σ
i∈I
(λλi)xi
jestteżoczywiściekombinacjąliniowątychsamychwektorówxizewspółczynni-
kamiλλi.Analogiczniesumadwóchtakichkombinacji:
(Σ
λixi)+(Σ
µixi)=Σ
(λi+µi)xi
i∈I
i∈I
i∈I
(dopisującwektoryzerowe,możemyzałożyć,żezbiórwskaźnikówIdlaobukom-
binacjijesttakisam)jestteżkombinacjąliniowąwektorówxizewspółczynnikami
λi+µi,wśródktórychjesttylkoskończeniewieleróżnychodzera.Takwięczbiór
(M)KwszystkichkombinacjiliniowychwektorówzMjestzamkniętywzględem
dodawaniawektorówimnożeniaprzezskalary:
(λ∈Kix,y∈(M))⇒(x+y∈(M)iλx∈(M)).
Zbiór(M)nazywamypowłokąliniowąpodzbioruM⊂V.
DEFINICJA2.NiechVbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałemK,aU⊂V—
takimjejpodzbiorem,któryjestpodgrupąaddytywnąwVijestzamkniętywzglę-
demmnożeniaprzezskalaryzK.WtedyograniczeniedoUdziałańokreślonych
wVwprowadzawUstrukturęprzestrzeniliniowej.Nazywamyjąpodprzestrzenią
liniową(lubwektorową)przestrzeniV.
Częśćwspólnadowolnejrodzinypodprzestrzeniliniowychjestteżpodprze-
strzeniąliniową(zob.§2,początekp.4;dowódtegofaktutoprostećwiczenie,
rozpatrywanewczęściIwprzypadkugrup).Wynikastąd,żepowłokaliniowa
(M)zbioruM⊂VjestpodprzestrzeniąliniowąwV,przyczymjesttooczywi-
ścienajmniejszapodprzestrzeńliniowazawierającaM.Mówimy,żepodprzestrzeń
(M)jestrozpiętanazbiorzeMlubgenerowanaprzeztenzbiór.Jeśliodpoczątku
zbiórMbyłpodprzestrzeniąliniową,to(M)=M.
Podamyterazkilkaprzykładówprzestrzeniliniowych,zktórymibędziemy
miećdoczynieniawdalszymciągu.
Przykład1(przestrzeńzerowa).NaddowolnymciałemKmożnaroz-
patrywaćjednoelementowąprzestrzeńliniowąV={0}zmnożeniemprzez
skalaryλ0=0.
Przykład2(ciałoskalarówjakoprzestrzeńliniowa).Przyjmujemy
V=K,przyczymdziałaniawVsądziałaniamiwK.Jeśli1oznaczajedynkę
ciałaK,toprzestrzeńliniowaKjestgenerowanaprzez1,czyliK=(1).
